Tema 1: Reconeixement dels nombres

Activitat 1: L’operació triatge 🕵️‍♂️🔢

🎯 L’objectiu? La nostra missió és classificar nombres sota pressió, demostrant que entenem la jerarquia exacta $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$. No n’hi ha prou amb memoritzar; hem d’aplicar la lògica per simplificar i identificar “intrusos” que intentaran enganyar-nos.

📋 Com ho farem?

• Fase 1: La Taula de Triatge. Prepara una taula com la de sota. La teva feina és analitzar cada nombre de la llista i marcar amb una ‘X’ TOTS els conjunts als quals pertany.
• Fase 2: Els Intrusos. Compte! Alguns nombres de la llista potser no són ni $\mathbb{N}$, ni $\mathbb{Z}$, ni $\mathbb{Q}$. Si n’identifiques algun, deixa les tres caselles buides i escriu “INTRÚS” a la columna de justificació.
• Fase 3: La Justificació. En alguns casos, el nombre és una “trampa”. A la columna de justificació, hauràs d’escriure el nombre simplificat abans de poder classificar-lo (p.ex., $\frac{10}{2} = 5$).

Nombre	$\mathbb{N}$ (Natural)	$\mathbb{Z}$ (Enter)	$\mathbb{Q}$ (Racional)	Justificació (Simplificació / Intrús)
$-7$
$\sqrt{36}$
$4,25$
$\frac{12}{3}$
$0$
$\pi$ (Pi)
$0,\overline{3}$
$-\frac{5}{2}$
$\sqrt{5}$

Activitat 2: El detector de mentides 🧐⚖️

🎯 L’objectiu? Anar més enllà de la memorització. En un examen, la diferència entre l’aprovat i l’excel·lent és la justificació. Aquesta activitat ens força a defensar el perquè de cada concepte, trobant la prova (el contraexemple) que desmunta una afirmació falsa.

📋 Com ho farem?

• Fase 1: Anàlisi. Llegeix cada afirmació i decideix si és Verdadera (V) o Falsa (F).
• Fase 2: La Prova. Aquí està el repte. No pots simplement respondre V o F; has de provar-ho:
  • Si és Verdadera, has d’escriure una breu justificació (p.ex., “Per la definició de…” o “Perquè $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$…”).
  • Si és Falsa, has de proporcionar un contraexemple numèric que demostri la falsedat.

Les Afirmacions:

1. ___ “Tot nombre Racional ($\mathbb{Q}$) és també un nombre Enter ($\mathbb{Z}$).”
   • Justificació:
2. ___ “Un nombre no pot ser Natural ($\mathbb{N}$) i Racional ($\mathbb{Q}$) alhora.”
   • Justificació:
3. ___ “Qualsevol nombre que es pot escriure com a decimal és un nombre Racional ($\mathbb{Q}$).”
   • Justificació:
4. ___ “Hi ha infinits nombres Racionals ($\mathbb{Q}$) entre el número 1 i el número 2.”
   • Justificació:
5. ___ “Per definició, $\frac{a}{b}$ és Racional ($\mathbb{Q}$) sempre que $a$ i $b$ siguin Enters ($\mathbb{Z}$).”
   • Justificació:

Activitat 3: Precisió quirúrgica a la recta 🎯📍

🎯 L’objectiu? Demostrar que entenem l’ordre i la magnitud real dels nombres. No només es tracta de saber què són, sinó on són. L’èxit aquí depèn de la nostra habilitat per convertir fraccions a decimals i per gestionar correctament els nombres negatius.

📋 Com ho farem?

• Fase 1: Conversió i Càlcul. Agafa la llista de nombres de sota. La teva primera missió és “traduir-los” tots a format decimal per poder comparar-los fàcilment. (Compte amb els periòdics i les simplificacions!).
• Fase 2: Ordenació. Un cop traduïts, ordena la llista de més petit (més a l’esquerra a la recta) a més gran (més a la dreta).
• Fase 3: El Dibuix. Dibuixa una recta numèrica que tingui prou rang per a tots els nombres (p.ex., del -4 al 4). Situa amb la màxima precisió possible cada punt (A, B, C, D, E, F) al lloc que li correspon.

La Llista:

• $A = -\frac{3}{2}$
• $B = 2,75$
• $C = \frac{10}{3}$
• $D = -3,25$
• $E = \frac{8}{4}$
• $F = -0,5$

Activitat 4: L’Enginyeria inversa 🕵️‍♂️🧩

🎯 L’objectiu? Posar a prova la nostra comprensió de les fronteres entre conjunts. En lloc de “classifica aquest nombre”, el repte s’inverteix: “crea un nombre que encaixi en aquesta classificació”. Això ens obliga a pensar creativament aplicant les regles de forma estricta.

📋 Com ho farem?

• Repte: Escriu un exemple de nombre que compleixi exactament les condicions demanades. Hi ha múltiples respostes correctes, però només cal una.

1. Busca un nombre que sigui $\mathbb{Q}$ i $\mathbb{Z}$, però NO $\mathbb{N}$.
   • Resposta:
2. Busca un nombre que sigui $\mathbb{Q}$, però NI $\mathbb{Z}$ NI $\mathbb{N}$.
   • Resposta:
3. Busca un nombre Racional ($\mathbb{Q}$) que estigui situat exactament entre $-0,1$ i $-0,2$.
   • Resposta:
4. Busca un nombre l’arrel quadrada del qual sigui un nombre Natural ($\mathbb{N}$).
   • Resposta:
5. (Repte Pro) Busca un nombre decimal infinit que NO sigui Racional ($\mathbb{Q}$).
   • Resposta:

Activitat 5: La Prova de la fracció ⚙️🔬

🎯 L’objectiu? Aquesta és la prova de foc. El text diu que “els decimals periòdics són Racionals”. La nostra missió és demostrar-ho. Hem de provar que un nombre aparentment infinit (com $0,333...$) es pot codificar perfectament en una fracció $\frac{a}{b}$.

📋 Com ho farem?

• Fase 1: El Mètode. Farem servir el mètode algebraic (el d’igualar a $x$, multiplicar per $10x$, $100x$, etc., i restar) per trobar la “fracció generatriu” dels següents nombres.
• Fase 2: La Simplificació. Un cop trobada la fracció, assegura’t de simplificar-la a la seva forma irreductible.

Els Reptes:

1. Nivell 1 (Pur): Troba la fracció generatriu de $x = 0,777...$
2. Nivell 2 (Pur complex): Troba la fracció generatriu de $x = 0,454545...$
3. Nivell 3 (Mixte - Difícil): Troba la fracció generatriu de $x = 0,58333...$