Teoria

Benvingut/da a la unitat sobre la representació a escala! Aquesta eina matemàtica ens permet dibuixar objectes molt grans (com un país) o molt petits (com un insecte) en un format que podem manejar, mantenint sempre les proporcions correctes. Anem a descobrir com funciona!

10.1. Conceptes bàsics sobre escala i proporcions

Una escala és la relació matemàtica que hi ha entre les dimensions d’un dibuix (un mapa, un plànol) i les dimensions reals de l’objecte que representa. Gràcies a l’escala, podem saber la mida real d’una casa a partir del seu plànol o la distància real entre dues ciutats mirant un mapa.

La idea clau és la proporció: si una paret és el doble de llarga que una altra en la realitat, també ho ha de ser en el dibuix.

Tipus d’Escala

Hi ha dues maneres principals d’expressar una escala:

1. Escala Numèrica: S’expressa com una fracció on el numerador és la mesura en el dibuix i el denominador és la mesura en la realitat. Normalment, s’escriu amb el format 1:N o 1/N.
   • 1:100 significa que 1 unitat en el dibuix (per exemple, 1 cm) equival a 100 unitats en la realitat (100 cm).

Tipus d’escales numèriques:

• Escala de Reducció: S’utilitza per representar objectes grans en un espai petit. El denominador és més gran que el numerador (ex: 1:50, 1:2000). És la més comuna en mapes i plànols.
• Escala Natural: L’objecte es representa a la seva mida real. La relació és 1:1.
• Escala d’Ampliació: S’utilitza per representar objectes molt petits amb més detall. El numerador és més gran que el denominador (ex: 2:1, 10:1). Per exemple, per dibuixar les parts d’un rellotge o un insecte.

Exemple resolt: Càlcul de distància real

En un mapa amb escala 1:50.000, la distància entre dos pobles és de 4 cm. Quina és la distància real en quilòmetres?

1. Plantegem la relació: L’escala 1:50.000 significa que 1 cm al mapa són 50.000 cm a la realitat.
2. Calculem la distància real: Multipliquem la distància del mapa pel factor d’escala. $\text{Distància real} = 4 \, \text{cm} \times 50.000 = 200.000 \, \text{cm}$
3. Convertim les unitats: Passem els centímetres a quilòmetres.
   • De cm a metres (dividim per 100): $200.000 \div 100 = 2.000$ m.
   • De metres a quilòmetres (dividim per 1.000): $2.000 \div 1.000 = 2$ km.

La distància real entre els dos pobles és de 2 km.

10.2. Aplicació de l’escala en plans, mapes i models

L’ús de l’escala és fonamental en molts camps professionals i quotidians.

Mapes 🗺️

Els mapes utilitzen escales de reducció per representar grans àrees geogràfiques (ciutats, països, el món sencer). A més de l’escala numèrica, sovint inclouen una escala gràfica.

2. Escala Gràfica: És una línia o barra dividida en segments que indica les distàncies reals. És molt útil perquè manté la proporció encara que el mapa es faci més gran o més petit (en una fotocòpia o pantalla).

Per usar-la, només cal mesurar una distància al mapa amb un regle i comparar-la amb la barra de l’escala gràfica per saber la distància real.

Plànols 建築

En arquitectura i enginyeria, els plànols són essencials. S’utilitzen escales de reducció com 1:50 o 1:100 per dibuixar edificis, cases o peces mecàniques. Això permet que els constructors i enginyers tinguin una guia precisa amb totes les mides proporcionals.

Exemple resolt: Interpretació d’un plànol

En el plànol d’una casa a escala 1:50, una habitació fa 6 cm de llarg. Quina és la seva llargada real?

1. Relació: 1 cm al plànol són 50 cm a la realitat.
2. Càlcul: $\text{Llargada real} = 6 \, \text{cm} \times 50 = 300 \, \text{cm}$
3. Conversió: $300$ cm són $3$ metres.

L’habitació té una llargada real de 3 metres.

Models i Maquetes 🚗

Les maquetes són representacions tridimensionals d’objectes. Poden ser:

• De reducció: Un cotxe de col·leccionista, la maqueta d’un edifici.
• D’ampliació: El model d’una molècula, una cèl·lula o un insecte per estudiar-ne els detalls.

En tots els casos, l’escala garanteix que el model sigui una rèplica fidel i proporcional de l’objecte real.

Exercicis Interactius

És el teu torn! Posa a prova els teus coneixements amb aquests exercicis.

Quiz de Conceptes

Relaciona cada representació amb la seva escala típica

Completa la frase

Resol problemes pas a pas

Càlculs Ràpids amb Escales

Exercicis per practicar

Resol els següents problemes al teu quadern per consolidar els teus coneixements.