Tema 11: Introducció a l'Àlgebra

Activitat 1: Matemàtiques amb Lletres? (Variables) 🔡

📚 Teoria a connectar:

• Llenguatge Algebraic: Utilitzem lletres (com $x$, $y$, $a$) per representar nombres que no coneixem o que poden canviar.
• Aquestes lletres s’anomenen incògnites o variables.

❓ Preguntes:

• Per què fem servir una $x$ en lloc d’un número? Perquè així podem crear fórmules que serveixin per a qualsevol cas.
• Si et dic “pensa un número”, tu en penses un, però jo no sé quin és. Per a mi, el teu número és $x$.

💡 Exemple concret:

• El perímetre d’un quadrat és la suma dels seus 4 costats.
• Si el costat mesura 2 cm $\rightarrow 2+2+2+2 = 8$.
• Si el costat mesura 5 cm $\rightarrow 5+5+5+5 = 20$.
• En àlgebra, diem que el costat és $c$. La fórmula és $4 \cdot c$ (o simplement $4c$).

✍️ Exercici:

• Si $h$ és el nombre d’hores que dorms:
  • Com escriuries “les hores que dorms menys 1”?
  • I “el doble de les hores que dorms”?

Activitat 2: Traductor Castellà-Matemàtic 🗣️

📚 Teoria a connectar:

• Expressió Algebraica: Traduir una frase normal a símbols matemàtics.
• Paraules clau:
  • “Doble” $\rightarrow 2 \cdot x$
  • “La meitat” $\rightarrow \frac{x}{2}$
  • “El següent” $\rightarrow x + 1$
  • “L’anterior” $\rightarrow x - 1$

❓ Preguntes:

• Com es diu en matemàtiques “tinc el doble d’anys que tu”? Si tu tens $x$ anys, jo en tinc $2x$.
• I si diem “tinc dos anys més que tu”? Llavors és $x + 2$. Veus la diferència entre multiplicar i sumar?

💡 Exemple concret:

• Frase: “Un nombre més el seu quadrat”.
• Traducció: $x + x^2$.
• Frase: “La tercera part d’un nombre”.
• Traducció: $\frac{x}{3}$.

✍️ Exercici:

• Tradueix a llenguatge algebraic:
  • a) El triple d’un nombre.
  • b) Un nombre menys cinc.
  • c) La meitat d’un nombre més tres.

Activitat 3: El Valor Secret (Valor Numèric) 🕵️

📚 Teoria a connectar:

• Valor Numèric: El resultat que dóna una expressió algebraica quan substituïm la lletra per un número concret.
• És com omplir un formulari: on posa “Nom”, hi escrius “Joan”. On posa $x$, hi escrius el número que et diguin.

❓ Preguntes:

• Si la fórmula per pagar un taxi és $3€ + 2€$ per kilòmetre ($3 + 2x$), quant pagaràs si fas 5 km? I si en fas 10? La fórmula és la mateixa, el resultat canvia segons la $x$.

💡 Exemple concret:

• Expressió: $2x + 5$.
• Si $x = 3$: Substituïm la $x$ per un $3$.
  • $2 \cdot 3 + 5 = 6 + 5 = 11$.
• Si $x = 0$:
  • $2 \cdot 0 + 5 = 0 + 5 = 5$.

✍️ Exercici:

• Calcula el valor numèric de l’expressió $3a - 2$ quan:
  • a) $a = 4$
  • b) $a = 10$

Activitat 4: Sumar Fruites (Simplificació) 🍎🍐

📚 Teoria a connectar:

• Monomis semblants: Només podem sumar o restar termes que tinguin exactament la mateixa lletra (part literal).
• “Pomes amb pomes, peres amb peres”.

❓ Preguntes:

• Pots dir que “2 cadires + 3 taules = 5 cadires-taula”? No, oi? Són coses diferents.
• En matemàtiques passa igual: $2x + 3y$ no es pot sumar. Però $2x + 3x$ sí, perquè tot són $x$.

💡 Exemple concret:

• Tenim: $3x + 2x + 5y$.
• Sumem les $x$: $3+2 = 5x$.
• La $y$ es queda sola.
• Resultat: $5x + 5y$.

✍️ Exercici:

• Simplifica aquestes expressions agrupant les lletres iguals:
  • a) $4a + 3a$
  • b) $5x + 2x - x$
  • c) $3m + 2n + 4m$ (Agrupa només les ‘m’!)

Activitat 5: La Balança (L’Equació) ⚖️

📚 Teoria a connectar:

• Equació: Una igualtat on hi ha una incògnita ($x$) que hem de descobrir.
• Pensa en una balança equilibrada. El que hi ha a l’esquerra del $=$ pesa igual que el que hi ha a la dreta.

❓ Preguntes:

• Si en un plat de la balança tens una capsa misteriosa ($x$) i 2 kg de pes, i a l’altre plat tens 5 kg, quant pesa la capsa?
• Intuïtivament saps que pesa 3 kg, perquè $3 + 2 = 5$. Acabes de resoldre una equació mentalment!

💡 Exemple concret:

• Equació: $x + 3 = 10$.
• Busquem un nombre que, si li sumes 3, doni 10.
• Aquest nombre és el 7.
• Diem que la solució és $x=7$.

✍️ Exercici:

• Troba el valor de $x$ mentalment (quin número falta?):
  • a) $x + 5 = 15$
  • b) $x - 2 = 8$
  • c) $2 \cdot x = 10$ (Dos per quin nombre dóna 10?)

Activitat 6: Passant a l’Altre Costat (Resolució) ↔️

📚 Teoria a connectar:

• Regla bàsica: Per deixar la $x$ sola (aïllar-la), passem els números a l’altre costat fent l’operació contrària.
  • Si suma $\rightarrow$ passa restant.
  • Si resta $\rightarrow$ passa sumant.
  • Si multiplica $\rightarrow$ passa dividint.

❓ Preguntes:

• Per què canviem l’operació? Per “desfer” el que li estorba a la $x$. Si tens $x+3$, per treure el $+3$ has de restar 3.

💡 Exemple concret:

• Resolem: $3x - 2 = 13$.
  1. El $-2$ passa sumant a la dreta: $3x = 13 + 2$.
  2. $3x = 15$.
  3. El $3$ (que multiplica) passa dividint: $x = \frac{15}{3}$.
  4. Resultat: $x = 5$.

✍️ Exercici:

• Resol pas a pas: $2x + 4 = 14$.
  • Pas 1: Passa el $+4$ restant. Quant et queda?
  • Pas 2: Passa el $2$ dividint. Quant val la $x$?