Tema: Àlgebra bàsica

Repassem!

🏋️‍♂️ Entrenament d’Alt Rendiment: Àlgebra Bàsica

L’àlgebra és l’idioma universal de les matemàtiques. Deixem de banda els números concrets per treballar amb idees generals. En aquest apartat aprendràs a “parlar” en lletres, a simplificar expressions impossibles i a dominar les dreceres de les identitats notables. Prepara’t, perquè aquí és on realment comences a pensar com un matemàtic/a.

1. Teoria: Preguntes Obertes (Resposta Curta)

Contesta aquestes preguntes per assegurar-te que els conceptes fonamentals estan ben clars.

✏️

Exercici

Defineix què és la part literal d’un monomi i posa’n un exemple.
Com es calcula el grau d’un monomi si té més d’una lletra? (Ex: $3x^2y^3$ ).
Què vol dir que dos monomis siguin semblants? Per què és tan important aquest concepte per a la suma?
Explica amb les teves paraules la diferència entre un coeficient i un exponent.
Trdueix al llenguatge algebraic: “La suma d’un nombre i el seu consecutiu”.
En la multiplicació de monomis, què fem amb els exponents de les lletres que són iguals? Per què?
És possible sumar $2x$ i $3y$ ? Raona la teva resposta.
Quin és el coeficient d’un monomi que no té cap número escrit davant (ex: $x^2y$ )? I si només té un signe negatiu (ex: $-ab$ )?
Descriu la fórmula del quadrat d’una resta sense utilitzar lletres (amb paraules).
Quan dividim monomis, què passa si l’exponent del numerador és més petit que el del denominador?

2. El “Gimnàs” d’Operacions Algebraiques 🔢

L’objectiu és la precisió en la manipulació de símbols. Recorda: pomes amb pomes, taronges amb taronges.

2.1. Traducció al Llenguatge Algebraic

Tradueix cada frase a una expressió amb la lletra $x$ .

El triple d’un nombre →
Un nombre menys set unitats →
La meitat d’un nombre →
El quadrat d’un nombre més dos →
El doble de la suma de $x$ i 3 →
Un nombre parell (qualsevol) →
El següent d’un nombre ( $x$ ) →
La resta de dos nombres diferents →
El cub d’un nombre →
El 25% d’un nombre →

2.2. Suma i Resta (Monomis Semblants)

Simplifica al màxim. Si no es pot operar, escriu “No semblants”.

$5x + 3x - 2x =$
$4a^2 + a^2 =$
$7xy - 10xy =$
$3x + 3y =$
$x^2 + x^2 + x^2 =$
$-5ab + 2ab - ab =$
$10x - (3x + 2x) =$
$4m^2n - 3m^2n =$
$x + x + y + y =$
$8x^3 - 5x^2 =$

2.3. Multiplicació i Divisió

$(2x) \cdot (4x) =$
$(15a^5) \div (3a^2) =$
$(-3x^2) \cdot (5x^3) =$
$(10x^2y) \div (2xy) =$
$(x^2) \cdot (x^4) =$
$(20m^6) \div (4m^6) =$
$(-2ab) \cdot (-4a) =$
$\frac{12x^3}{3x} =$
$3 \cdot (2x^2) \cdot (-x) =$
$(x^2y^2) \div (xy) =$

2.4. Identitats Notables (Dreceres)

Aplica la fórmula directament.

$(x + 2)^2 =$
$(x - 5)^2 =$
$(x + 3)(x - 3) =$
$(2a + 1)^2 =$
$(3x - 2)^2 =$
$(2x + 5)(2x - 5) =$

3. Reptes de Lògica Algebraica 🧠

Utilitza l’àlgebra per resoldre aquests enigmes i situacions geomètriques.

✏️

Exercici

El rectangle variable: Un rectangle té una base que fa $x + 5$ cm i una alçada que fa $x$ cm.
a) Escriu l’expressió algebraica del seu perímetre.
b) Escriu l’expressió algebraica de la seva àrea.
c) Si $x = 4$ cm, quin és el valor numèric de l’àrea?
L’edat misteriosa: La mare del Marc té el triple d’edat que ell. Si l’edat del Marc és $x$ :
a) Quina edat tindrà la mare d’aquí a 10 anys?
b) Quina era l’edat de la mare fa 5 anys?
Simplificació Total: Redueix l’expressió següent: $3x^2 - 5x + 2 - (x^2 + 2x - 3)$ . Recorda que el signe menys davant del parèntesi canvia tots els signes de dins!
El cub màgic: Si el costat d’un cub fa $2x$ cm:
a) Quina és l’àrea d’una de les seves cares?
b) Quin és el seu volum total en funció de $x$ ?
Nombres consecutius: La suma de tres nombres consecutius és 33.
a) Escriu l’equació que representa aquesta suma fent servir $x$ com el primer nombre.
b) Ets capaç d’esbrinar quins són els tres nombres?
Error d’identitat: Un alumne ha escrit que $(x+5)^2 = x^2 + 25$ .
a) Explica per què aquest resultat és incorrecte.
b) Quin terme s’ha deixat pel camí?
La piràmide de monomis: En una piràmide, cada bloc és la suma dels dos blocs que té a sota. Si a la base hi ha $3x$ , $2x$ i $x$ :
a) Quins monomis hi haurà al segon pis?
b) Quin monomi coronarà la piràmide?