Teoria

Benvingut/da a la introducció al món de l’àlgebra! En aquesta unitat, aprendràs a utilitzar lletres i nombres junts per representar situacions i resoldre problemes. L’àlgebra és com un llenguatge universal que ens ajuda a descriure el món de manera precisa. Comencem!

11.1. Expressions algebraiques: definició i concepte

Una expressió algebraica és una combinació de nombres, lletres i signes d’operacions (suma, resta, multiplicació, divisió). Les lletres representen quantitats desconegudes o variables, i les anomenem incògnites o variables.

Una part fonamental d’una expressió algebraica és el monomi, que és el producte d’un nombre per una o més lletres amb exponents naturals. Vegem les seves parts:

• Coeficient: És el nombre que multiplica les lletres.
• Part literal: Són les lletres amb els seus exponents.
• Grau: És la suma dels exponents de totes les lletres de la part literal.

Per exemple, en el monomi $5x^2y^3$:

• El coeficient és $5$.
• La part literal és $x^2y^3$.
• El grau és $2 + 3 = 5$.

Una expressió algebraica pot estar formada per un o més monomis, separats per signes de suma o resta. Segons el nombre de termes (monomis), s’anomena:

• Monomi: Un sol terme (ex: $7x$).
• Binomi: Dos termes (ex: $2a - 3b$).
• Trinomi: Tres termes (ex: $x^2 + 4x - 1$).
• Polinomi: Dos o més termes.

11.2. Traducció de situacions del llenguatge verbal a l’algebraic

L’àlgebra ens permet traduir frases del llenguatge comú a un llenguatge matemàtic precís. Això és molt útil per a resoldre problemes. Utilitzem una lletra (normalment $x$) per representar “un nombre” o una quantitat desconeguda.

Exemple resolt:

Traduïm la frase: “L’edat de la Carla és el doble de la del seu germà Pau. D’aquí a 5 anys, la suma de les seves edats serà 25”.

1. Identifiquem les incògnites: La quantitat desconeguda principal és l’edat d’en Pau. L’anomenem $x$.

   • Edat d’en Pau: $x$
   • Edat de la Carla (el doble): $2x$

2. Expressem les edats en el futur: D’aquí a 5 anys, tots dos seran 5 anys més grans.

   • Edat d’en Pau en 5 anys: $x + 5$
   • Edat de la Carla en 5 anys: $2x + 5$

3. Plantegem l’equació: La suma de les seves edats futures serà 25.

   • $(x + 5) + (2x + 5) = 25$

Hem traduït la situació a una expressió algebraica (en aquest cas, una equació).

11.3. Operacions amb expressions algebraiques: suma i resta de monomis

Per sumar o restar monomis, hi ha una regla d’or: només podem operar amb monomis semblants.

Dos monomis són semblants si tenen exactament la mateixa part literal (mateixes lletres amb els mateixos exponents).

Per sumar o restar monomis semblants:

1. Sumem o restem els seus coeficients.
2. Deixem la mateixa part literal.

Exemple resolt de suma: $3x^2 + 5x^2$

1. Són semblants? Sí, tots dos tenen $x^2$.
2. Sumem els coeficients: $3 + 5 = 8$.
3. Mantenim la part literal: $x^2$.
4. Resultat: $3x^2 + 5x^2 = 8x^2$

Exemple resolt de resta: $10ab - 4ab$

1. Són semblants? Sí, tots dos tenen $ab$.
2. Restem els coeficients: $10 - 4 = 6$.
3. Mantenim la part literal: $ab$.
4. Resultat: $10ab - 4ab = 6ab$

Exemple amb termes no semblants: $7x + 2x^2 - 3x$

1. Identifiquem els termes semblants: $7x$ i $-3x$.
2. Els operem: $7x - 3x = 4x$.
3. El terme $2x^2$ no té cap altre terme semblant, així que es queda com està.
4. Resultat final (simplificat): $2x^2 + 4x$

11.4. Multiplicació i divisió de monomis

A diferència de la suma i la resta, no cal que els monomis siguin semblants per multiplicar-los o dividir-los.

Multiplicació

Per multiplicar dos monomis:

1. Multipliquem els coeficients.
2. Sumem els exponents de les lletres iguals.

Exemple resolt: $(5x^3y) \cdot (2xy^4)$

1. Multipliquem coeficients: $5 \cdot 2 = 10$.
2. Sumem exponents de la $x$: $x^3 \cdot x^1 = x^{3+1} = x^4$.
3. Sumem exponents de la $y$: $y^1 \cdot y^4 = y^{1+4} = y^5$. Resultat: $10x^4y^5$.

Divisió

Per dividir dos monomis:

1. Dividim els coeficients.
2. Restem els exponents de les lletres iguals (exponent del numerador menys exponent del denominador).

Exemple resolt: $\frac{12a^5b^3}{3a^2b^2}$

1. Dividim coeficients: $12 \div 3 = 4$.
2. Restem exponents de la $a$: $a^5 / a^2 = a^{5-2} = a^3$.
3. Restem exponents de la $b$: $b^3 / b^2 = b^{3-2} = b^1 = b$. Resultat: $4a^3b$.

11.5. Identitats algebraiques bàsiques

Les identitats notables (o productes notables) són multiplicacions d’expressions algebraiques que apareixen molt sovint i tenen una fórmula fixa que ens estalvia haver de fer tota la multiplicació pas a pas.

Les tres més importants són:

1. Quadrat d’una suma: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

   • El quadrat del primer, més el doble del primer pel segon, més el quadrat del segon.

2. Quadrat d’una resta: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

   • El quadrat del primer, menys el doble del primer pel segon, més el quadrat del segon.

3. Suma per diferència: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

   • El quadrat del primer menys el quadrat del segon.

Aquí tens una demostració visual del quadrat d’una suma:

Exemple resolt d’identitat notable: $(x+3)^2$

1. Identifiquem la fórmula: És el quadrat d’una suma, $(a+b)^2$.
2. En aquest cas, $a=x$ i $b=3$.
3. Apliquem la fórmula $a^2 + 2ab + b^2$:
   • $a^2 \rightarrow (x)^2 = x^2$
   • $2ab \rightarrow 2 \cdot x \cdot 3 = 6x$
   • $b^2 \rightarrow (3)^2 = 9$
4. Resultat: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$

Exemple resolt: $(2y-5)^2$

1. Identifiquem la fórmula: Quadrat d’una resta, $(a-b)^2$.
2. Aquí, $a=2y$ i $b=5$.
3. Apliquem $a^2 - 2ab + b^2$:
   • $a^2 \rightarrow (2y)^2 = 4y^2$
   • $2ab \rightarrow 2 \cdot (2y) \cdot 5 = 20y$
   • $b^2 \rightarrow (5)^2 = 25$
4. Resultat: $(2y-5)^2 = 4y^2 - 20y + 25$

Exercicis Interactius

Ara és el teu torn! Posa a prova els teus coneixements amb aquests exercicis.

Conceptes bàsics

Operacions amb Monomis

Identitats Notables

Relaciona cada frase amb la seva expressió

Completa la definició

Resol problemes pas a pas

Càlcul ràpid: Suma i Resta

Càlcul ràpid: Multiplicació i Divisió

Exercicis per practicar

Resol les següents operacions i traduccions al teu quadern.