Tema 12: Equacions de primer grau

Activitat 1: La Balança en Equilibri ⚖️

📚 Teoria a connectar:

• Equació: Una igualtat entre dues expressions (membres).
• Incògnita ($x$): El valor desconegut que fa que la balança estigui equilibrada.
• Primer grau: La $x$ no té exponents (està elevada a 1).

❓ Preguntes:

• Si tens una balança amb una capsa misteriosa ($x$) i una pesa de 1kg en un costat, i a l’altre costat tens una pesa de 5kg, quant ha de pesar la capsa perquè no s’inclini?
• Per què diem que el signe $=$ és el centre de la balança?

💡 Exemple concret:

• Equació: $2x + 1 = 5$.
• Membre Esquerre: $2x + 1$ (Dues capses i 1 kg).
• Membre Dret: $5$ (5 kg).
• Incògnita: $x$ (El pes d’una capsa).

✍️ Exercici:

• Mira l’equació $3x + 2 = 14$.
  • Quin és el primer membre?
  • Quin és el segon membre?
  • Quina és la incògnita?

Activitat 2: Traductor d’Enigmes 🗣️

📚 Teoria a connectar:

• Traducció al llenguatge algebraic: Convertir paraules en símbols matemàtics.
• Claus: “Doble” ($2x$), “Triple” ($3x$), “Meitat” ($x/2$), “Següent” ($x+1$).

❓ Preguntes:

• Com escriuries matemàticament “L’edat del teu cosí més 5 anys és igual a 20”? Si l’edat és $x$, seria $x + 5 = 20$.
• Per què fem servir això? Perquè així podem resoldre problemes complexos sense haver d’endevinar.

💡 Exemple concret:

• Enunciat: “Si al triple d’un nombre li restem 10, obtenim 17”.
  1. Un nombre: $x$.
  2. El triple: $3x$.
  3. Li restem 10: $3x - 10$.
  4. Obtenim 17: $3x - 10 = 17$.

✍️ Exercici:

• Tradueix a una equació (no cal que la resolguis):
  • “El doble d’un nombre més quatre és igual a deu”.
  • “La meitat d’un nombre és igual a nou”.

Activitat 3: Operació Rescat (Aïllar la x) 🚁

📚 Teoria a connectar:

• Regla d’Or: El que fem a un costat, ho fem a l’altre.
• Transposició:
  • Si suma $\rightarrow$ passa restant.
  • Si multiplica $\rightarrow$ passa dividint.

❓ Preguntes:

• Per deixar la $x$ sola en l’equació $3x + 5 = 14$, què et fa nosa primer? El $+5$. Com l’elimines? (Passant-lo a l’altre costat restant).

💡 Exemple concret:

• Resolem $3x + 5 = 14$.
  1. Passem el 5 restant: $3x = 14 - 5$.
  2. Fem la resta: $3x = 9$.
  3. Passem el 3 dividint: $x = \frac{9}{3}$.
  4. Resultat: $x = 3$.

✍️ Exercici:

• Troba la $x$ en aquesta equació: $2x - 4 = 10$.
  • Primer passa el $-4$ sumant.
  • Després passa el $2$ dividint.

Activitat 4: Detectius de Compres 📓

📚 Teoria a connectar:

• Resolució de problemes: Identificar incògnita $\rightarrow$ Plantejar equació $\rightarrow$ Resoldre.

❓ Preguntes:

• L’Anna compra 3 llibretes i un bolígraf de 2€. Paga 11€. Saps el preu del boli, però no el de la llibreta.
• Pots plantejar això com una equació on $x$ és el preu de la llibreta?

💡 Exemple concret:

• Dades: 3 llibretes ($3x$) + 1 boli (2€) = Total (11€).
• Equació: $3x + 2 = 11$.
• Resolució:
  • $3x = 11 - 2 \rightarrow 3x = 9$.
  • $x = \frac{9}{3} = 3$.
• Resposta: Cada llibreta costa 3€.

✍️ Exercici:

• Un taxi et cobra 3€ per pujar (preu fix) i després una quantitat per quilòmetre. Si has pagat 13€ en total i el trajecte era de 5 km, quant val cada km?
  • Planteja: $5x + 3 = 13$. Resol-la.

Activitat 5: Cadascú a casa seva (Agrupar termes) 🐑🐄

📚 Teoria a connectar:

• Equacions amb x a tots dos costats: Cal ordenar.
• Les $x$ a l’esquerra, els nombres a la dreta. Recorda canviar el signe quan canvies de costat!

❓ Preguntes:

• Tens $5x - 3 = 2x + 9$. Pots restar $5x - 3$? No! (Un té $x$ i l’altre no).
• Hem de moure el $2x$ cap a l’esquerra (passa restant) i el $-3$ cap a la dreta (passa sumant).

💡 Exemple concret:

• $5x - 3 = 2x + 9$.
  1. Agrupem: $5x - 2x = 9 + 3$.
  2. Simplifiquem: $3x = 12$.
  3. Aïllem: $x = \frac{12}{3} = 4$.

✍️ Exercici:

• Resol aquesta equació movent els termes: $4x + 2 = x + 11$.
  • Mou la $x$ (és $1x$) a l’esquerra restant.
  • Mou el $+2$ a la dreta restant.

Activitat 6: La Prova Final (Comprovació) ✅

📚 Teoria a connectar:

• Comprovació: Substituir la $x$ pel valor trobat per veure si es compleix la igualtat.
• Si dóna el mateix número a les dues bandes, és correcte.

❓ Preguntes:

• Com pots estar segur al 100% que has tret un excel·lent a l’examen abans que el corregeixi el professor? Fent la comprovació!

💡 Exemple concret:

• Hem trobat que $x=4$ per a l’equació $5x - 3 = 2x + 9$.
• Comprovem-ho:
  • Banda Esquerra: $5(4) - 3 = 20 - 3 = 17$.
  • Banda Dreta: $2(4) + 9 = 8 + 9 = 17$.
  • $17 = 17$. ✔️ La solució és perfecta.

✍️ Exercici:

• Creus que $x=5$ és la solució de $2x + 1 = 11$?
  • Substitueix la $x$ per 5.
  • Calcula $2(5) + 1$. Dóna 11?