Teoria

Benvingut/da a la unitat sobre equacions de primer grau! Les equacions són una eina fonamental en matemàtiques que ens permeten resoldre problemes de la vida real. En aquesta lliçó, aprendràs a identificar-les, plantejar-les i, el més important, a resoldre-les. Comencem!

12.1. Definició i concepte d’Equacions de primer grau

Una equació és una igualtat matemàtica entre dues expressions, anomenades membres, en les quals apareixen elements coneguts (nombres) i desconeguts (lletres). L’element desconegut s’anomena incògnita i normalment es representa amb la lletra $x$.

Una equació és de primer grau quan la incògnita ($x$) no està elevada a cap potència, és a dir, el seu exponent és 1.

Pensa en una equació com una balança en equilibri. El que hi ha a l’esquerra del signe igual (=) pesa exactament el mateix que el que hi ha a la dreta.

En l’exemple $2x + 1 = 5$:

• Primer membre: L’expressió a l’esquerra de l’igual ($2x + 1$).
• Segon membre: L’expressió a la dreta de l’igual ($5$).
• Incògnita: La lletra $x$.
• Termes: Cada part que se suma o resta ($2x$, $+1$, $5$).

12.2. Traducció de situacions del llenguatge verbal a Equacions de primer grau

Molts problemes de la vida quotidiana es poden resoldre si els “traduïm” a llenguatge matemàtic. L’àlgebra ens ajuda a fer aquesta traducció. Aquí tens alguns exemples comuns:

Exemple resolt:

Traduïm la frase: “Si al triple d’un nombre li restem 10, obtenim 17. Quin és el nombre?”

1. Un nombre desconegut: $x$
2. El triple d’aquest nombre: $3x$
3. Li restem 10: $3x - 10$
4. Obtenim 17: $3x - 10 = 17$

L’equació que representa el problema és $3x - 10 = 17$.

12.3. Resolució d’equacions de primer grau amb una incògnita

Resoldre una equació és trobar el valor de la incògnita. Per fer-ho, seguim un procés per aïllar la $x$ en un dels membres de la igualtat. La regla d’or és: qualsevol operació que facis a un membre, l’has de fer també a l’altre per mantenir l’equilibri.

De forma pràctica, diem que un terme que està sumant passa a l’altre costat restant, i viceversa. I un terme que està multiplicant passa a l’altre costat dividint, i viceversa.

Exemple resolt: $3x + 5 = 14$

1. Agrupar termes: Volem deixar els termes amb $x$ a l’esquerra i els nombres a la dreta. El $5$ que està sumant a l’esquerra, passa a la dreta restant. $3x = 14 - 5$

2. Reduir termes: Realitzem l’operació a la dreta. $3x = 9$

3. Aïllar la $x$: El $3$ que està multiplicant la $x$, passa a l’altre costat dividint. $x = \frac{9}{3}$

4. Solució: Calculem la divisió. $x = 3$

12.4. Resolució de problemes quotidians mitjançant equacions de primer grau

Ara apliquem el que hem après per resoldre un problema real.

Problema: L’Anna ha comprat 3 llibretes iguals i un bolígraf de 2 €. En total, ha pagat 11 €. Quant costa cada llibreta?

1. Identificar la incògnita: El que no sabem és el preu d’una llibreta.

   • Preu d’una llibreta $\rightarrow x$

2. Traduir a llenguatge algebraic: Expressem el cost total amb una equació.

   • Cost de 3 llibretes: $3x$
   • Cost del bolígraf: $2$
   • Cost total: $3x + 2$
   • L’equació és: $3x + 2 = 11$

3. Resoldre l’equació:

   $$\begin{align*} 3x + 2 &= 11 \\ 3x &= 11 - 2 \\ 3x &= 9 \\ x &= \frac{9}{3} \\ x &= 3 \end{align*}$$

4. Donar la solució al problema: Cada llibreta costa 3 €.

12.5. Equacions amb termes a ambdós costats

Què passa si la incògnita $x$ apareix als dos membres de l’equació? L’estratègia és la mateixa: agrupar tots els termes amb $x$ a un costat de l’igual i tots els nombres (termes independents) a l’altre costat.

Exemple resolt: $5x - 3 = 2x + 9$

1. Agrupar les $x$ a l’esquerra: El terme $2x$ està sumant a la dreta, així que passa restant a l’esquerra. $5x - 2x - 3 = 9$

2. Agrupar els nombres a la dreta: El terme $-3$ està restant a l’esquerra, així que passa sumant a la dreta. $5x - 2x = 9 + 3$

3. Simplificar ambdós membres: Realitzem les operacions a cada costat. $3x = 12$

4. Aïllar la $x$: El $3$ està multiplicant, així que passa dividint. $x = \frac{12}{3}$ $x = 4$

La solució de l’equació és $x = 4$.

12.6. Comprovació de solucions d’una equació

Un cop hem trobat una solució, podem (i hem de!) comprovar si és correcta. Per fer-ho, substituïm la $x$ a l’equació original pel valor que hem trobat. Si la igualtat es compleix, la solució és correcta.

Comprovem la solució $x=4$ de l’equació anterior: $5x - 3 = 2x + 9$.

Com que hem obtingut el mateix resultat ($17$) a ambdós costats, podem confirmar que la nostra solució $x=4$ és correcta.

Exercicis Interactius

És hora de posar a prova els teus coneixements. Resol els següents exercicis interactius per consolidar el que has après.

Quiz de conceptes

Relaciona cada frase amb la seva expressió

Completa la definició

Resol pas a pas

Càlcul ràpid d’equacions

Exercicis per practicar

Resol les següents equacions i problemes al teu quadern. Recorda seguir tots els passos i comprovar les solucions.