Tema 14: Funcions

1. Conceptes Fonamentals de les Funcions

• Definició de funció: Relació matemàtica que assigna a cada element d’un conjunt d’entrada (domini) un únic valor de sortida (recorregut).
• Variable Independent ($x$): Valor que s’introdueix en la funció i que no depèn de cap altra magnitud.
• Variable Dependent ($y$): Valor resultant que es calcula a partir de l’entrada seguint la regla establerta per la funció.
• La “màquina de funcions”: Analogia visual on un nombre entra, es transforma mitjançant una operació i en surt un resultat únic.
• Condició d’unicitat: Principi indispensable segons el qual una mateixa entrada no pot generar mai dues sortides diferents.

2. Formes de Representació: Taules i Gràfics

• La taula de valors: Organització de parelles de dades $(x, y)$ que permeten visualitzar la relació numèrica de forma directa i ordenada.
• Representació gràfica: Trasllat de les parelles de la taula a un pla cartesià, on cada parella es converteix en un punt físic.
• Interpretació visual: Unió dels punts per identificar la forma de la funció (recta, corba, paràbola) i el seu comportament general.
• Eixos de referència: Ús de l’eix horitzontal per a la variable independent ($x$) i l’eix vertical per a la dependent ($y$).
• Lectura de punts: Capacitat per extreure informació de la gràfica identificant les coordenades de qualsevol punt sobre la línia.

3. Funcions de Proporcionalitat Directa i Lineals

• Equació de la proporcionalitat directa: Model matemàtic de la forma $y = mx$, on la relació entre variables és constant.
• El Pendent ($m$): Coeficient que determina la inclinació de la recta i la velocitat amb què canvia la variable dependent.
• Característica de l’origen: Les funcions de proporcionalitat directa sempre passen pel punt $(0, 0)$ del pla cartesià.
• Sentit de la marxa: Una recta amb pendent positiu és creixent (puja), mentre que un pendent negatiu indica una funció decreixent.
• Aplicació pràctica: Càlcul de magnituds que varien proporcionalment, com la distància recorreguda a velocitat constant.

4. La Funció Afí: Inclinació i Desplaçament

• Equació general: Representació en format $y = mx + n$, on s’afegeix un component de desplaçament vertical.
• Ordenada a l’origen ($n$): Valor de $y$ quan $x=0$, indicant el punt exacte on la recta talla l’eix vertical.
• Comparació amb lineals: Les funcions afins no passen obligatòriament per l’origen, tot i que mantenen la forma de línia recta.
• Paral·lelisme: Comprensió que dues rectes amb el mateix pendent ($m$) són paral·leles i només difereixen en la seva alçada ($n$).
• Construcció de rectes: Tècnica per dibuixar una funció afí marcant primer l’ordenada a l’origen i aplicant després el pendent.

[Image comparing a linear function (y=mx) and an affine function (y=mx+n) showing the vertical shift]

5. Eines Digitals i Anàlisi Interactiu

• Programari de representació: Ús d’eines com GeoGebra o Desmos per visualitzar funcions instantàniament a partir de la seva equació.
• Exploració interactiva: Ús de lliscadors per modificar els valors de $m$ i $n$ i observar el canvi en la recta en temps real.
• Càlcul de punts singulars: Localització automàtica d’interseccions, talls amb els eixos i pendents mitjançant programes informàtics.
• Generació de taules: Capacitat de les eines digitals per crear sèries de valors automàtiques per a qualsevol interval de la funció.
• Comprensió intuïtiva: Facilitat per entendre conceptes abstractes (com la inclinació) gràcies a la manipulació directa dels paràmetres.