Tema 14: Funcions

Activitat 1: La Màquina de Transformar 🏭

📚 Teoria a connectar:

• Concepte de Funció: Una relació on per a cada entrada ($x$) hi ha una única sortida ($y$).
• Variable independent ($x$): El número que tu decideixes posar.
• Variable dependent ($y$): El resultat que surt després d’aplicar la regla.

❓ Preguntes:

• Imagina una màquina expenedora. Si prems el botó “A1” ($x$), sempre ha de caure la mateixa bossa de patates ($y$). Si un dia cau xocolata i l’altre dia patates, la màquina està espatllada (no és una funció).
• Per què diem que la $y$ “depèn” de la $x$? (Perquè el resultat depèn del que hagis introduït primer).

💡 Exemple concret:

• Regla de la màquina: Multiplica per 2 i suma 1 ($y = 2x + 1$).
  • Entra $x=3$ $\rightarrow$ $2(3)+1 = 7$. Surt $7$.
  • Entra $x=-1$ $\rightarrow$ $2(-1)+1 = -1$. Surt $-1$.

✍️ Exercici:

• Tens una màquina amb la regla: “Eleva al quadrat” ($y = x^2$).
  • Què surt si poses un $3$?
  • I si poses un $-3$? (Recorda: menys per menys és més).

Activitat 2: Les Tres Cares de la Funció 🎭

📚 Teoria a connectar:

• Una funció es pot explicar de 3 maneres:
  1. Equació: La fórmula ($y=2x+1$).
  2. Taula de Valors: Llista de parelles $(x, y)$.
  3. Gràfic: Dibuix al pla cartesià.

❓ Preguntes:

• Si et dono una llista de coordenades com $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 5)$… veus algun patró?
• Com es converteixen aquests números en un dibuix? (Cada parella és un punt al mapa).

[Image of translation from table of values to graph plotting]

💡 Exemple concret:

• Funció $y = 2x + 1$.
• Taula:
  • Si $x=0$, $y=1$ $\rightarrow$ Punt $(0,1)$.
  • Si $x=1$, $y=3$ $\rightarrow$ Punt $(1,3)$.
  • Si $x=2$, $y=5$ $\rightarrow$ Punt $(2,5)$.
• Gràfic: Si pintes aquests punts en un paper i poses un regle, veuràs que formen una línia recta perfecta.

✍️ Exercici:

• Fes una petita taula per a $y = x + 2$. Troba els valors de $y$ quan la $x$ val 0, 1 i 2.

Activitat 3: Desxifrant el Codi (Càlcul) 🧮

📚 Teoria a connectar:

• Substitució: Canviar la lletra $x$ per un número concret dins de l’equació per trobar la $y$.
• Ús correcte dels parèntesis, especialment amb negatius.

❓ Preguntes:

• Per saber quant val la funció $y = x^2 - 3$ quan $x=4$, què has de fer? Simplement esborrar la $x$ i escriure un $4$ al seu lloc.

💡 Exemple concret:

• Funció: $y = x^2 - 3$.
• Volem saber la $y$ quan $x = -2$.
  • Substituïm: $y = (-2)^2 - 3$.
  • Calculem la potència: $4 - 3 = 1$.
  • Resultat: $y = 1$. El punt és $(-2, 1)$.

✍️ Exercici:

• Donada la funció $y = 3x - 5$, calcula el valor de $y$ quan $x = 2$.

Activitat 4: Sempre Passem pel Centre (Proporcionalitat) 🎯

📚 Teoria a connectar:

• Funció de Proporcionalitat Directa: $y = mx$.
• Característica clau: Sempre passa per l’origen $(0,0)$.
• Si $x$ es duplica, $y$ es duplica.

❓ Preguntes:

• Un cotxe va a 50 km/h. Si condueix 0 hores, quants km ha fet? Zero. Per això la línia comença (o passa) pel centre del gràfic.
• La $m$ és la velocitat (o constant).

💡 Exemple concret:

• Equació: $y = 50x$.
  • 1 hora $\rightarrow$ 50 km.
  • 2 hores $\rightarrow$ 100 km.
• El gràfic és una recta que neix al punt $(0,0)$ i puja.

✍️ Exercici:

• Una funció és $y = 4x$.
  • Passa pel punt $(0,0)$? Comprova-ho substituint la $x$ per 0.
  • És de proporcionalitat directa?

Activitat 5: Rectes que Volen (Funció Afí) ✈️

📚 Teoria a connectar:

• Funció Afí: $y = mx + n$.
• Pendent ($m$): La inclinació (com de ràpid puja o baixa).
• Ordenada a l’origen ($n$): On talla l’eix vertical. (L’alçada inicial).

❓ Preguntes:

• Mira les funcions $y = 2x$ i $y = 2x + 3$.
• Són com dues escales mecàniques. Tenen la mateixa inclinació ($m=2$), però una comença al terra (0) i l’altra comença 3 pisos més amunt ($+3$). Són paral·leles.

[Image comparing graphs of y equals 2x and y equals 2x plus 3 showing parallel lines]

💡 Exemple concret:

• En $y = -2x + 5$:
  • Pendents ($m = -2$): És negativa, per tant la recta baixa (és decreixent).
  • Tall ($n = 5$): La recta creua l’eix Y al número 5.

✍️ Exercici:

• Observa la funció $y = 3x - 1$.
  • Quin és el pendent? La recta puja o baixa?
  • En quin punt talla l’eix vertical Y?

Activitat 6: Laboratori Digital 💻

📚 Teoria a connectar:

• Ús d’eines com GeoGebra o Desmos.
• Visualització dinàmica: Què passa si canvio els números?

❓ Preguntes:

• Si tens l’equació $y = mx + n$ en un ordinador i mous un lliscador per fer la $n$ més gran, què li passa al dibuix? (Puja com un ascensor, sense girar-se).
• I si mous la $m$? (La recta gira sobre si mateixa, fent-se més o menys costeruda).

💡 Exemple concret:

• Posa $y = x$ a GeoGebra. (Línia diagonal perfecta).
• Canvia a $y = 4x$. (La línia es posa gairebé vertical, puja molt ràpid).
• Canvia a $y = -x$. (La línia ara baixa com un tobogan).

✍️ Exercici:

• Si tens accés a internet, obre GeoGebra. Escriu $y = 2x$ i després $y = 2x + 4$.
• Confirma visualment: Són paral·leles? Es toquen en algun punt?