Teoria

Benvingut/da a la unitat sobre funcions! Les funcions són una de les eines més importants de les matemàtiques. Ens ajuden a entendre com una quantitat canvia en relació amb una altra. Les trobem a tot arreu: en la física, l’economia, la tecnologia i fins i tot en la nostra vida diària. Comencem a descobrir-les!

14.1. Definició i concepte de funció

Una funció és una relació entre dos conjunts de nombres, anomenats domini i recorregut. La funció assigna a cada element del primer conjunt (el domini) un únic element del segon conjunt (el recorregut).

Imagina una “màquina de funcions”. Tu hi introdueixes un número (anomenat variable independent, normalment representada per $x$) i la màquina, seguint una regla fixa, et retorna un altre número (anomenat variable dependent, normalment representada per $y$ o $f(x)$).

La clau és que per a cada entrada $x$, només hi pot haver una única sortida $y$.

Exemple resolt:

Si la regla de la nostra màquina és “multiplica per 2 i suma 1” (l’equació és $y = 2x + 1$), vegem què passa:

• Si introduïm $x=3$, la màquina calcula $y = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7$. La sortida és 7.
• Si introduïm $x=-1$, la màquina calcula $y = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1$. La sortida és -1.

Per a cada valor de $x$ que posem, obtenim un únic valor de $y$.

14.2. Funció donada per una taula de valors

Una manera molt clara de veure una funció és a través d’una taula de valors. Aquesta taula simplement mostra parelles de valors $(x, y)$ que compleixen la relació de la funció. És una llista d’entrades i les seves corresponents sortides.

Exemple resolt:

Continuem amb la funció $y = 2x + 1$. Podem construir una taula de valors donant diferents valors a $x$ i calculant la $y$ corresponent:

Cada fila de la taula representa un punt que pertany a la funció, per exemple, el punt $(-2, -3)$.

14.3. Funció representada per un gràfic

Una de les maneres més visuals de comprendre una funció és representant-la en un gràfic cartesià. Cada parella de valors $(x, y)$ de la taula es converteix en un punt en el pla. L’eix horitzontal és l’eix de les $x$ (abscisses) i l’eix vertical és l’eix de les $y$ (ordenades).

En unir tots els punts, obtenim una línia o una corba que és la representació gràfica de la funció.

Exemple resolt:

Si agafem els punts de la taula anterior i els dibuixem en uns eixos cartesians, veurem que tots estan alineats. En unir-los, obtenim una recta.

14.4. Funció expressada amb una equació algebraica senzilla

La manera més potent i concisa de descriure una funció és mitjançant una equació algebraica (o fórmula). Aquesta equació és la “regla” que utilitza la nostra màquina de funcions per transformar cada $x$ en una $y$.

Per exemple, $y = x^2$, $y = 3x - 5$, o $y = \frac{1}{x}$ són equacions que defineixen funcions.

L’equació ens permet trobar el valor de $y$ per a qualsevol valor de $x$ que se’ns acudeixi, simplement substituint la $x$ a la fórmula i calculant.

Exemple resolt:

Donada la funció $y = x^2 - 3$:

1. Troba el valor de $y$ quan $x=4$. Substituïm $x$ per $4$ a l’equació: $y = (4)^2 - 3 = 16 - 3 = 13$. Quan $x=4$, $y=13$. El punt és $(4, 13)$.

2. Troba el valor de $y$ quan $x=-2$. Substituïm $x$ per $-2$. És important utilitzar parèntesis! $y = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Quan $x=-2$, $y=1$. El punt és $(-2, 1)$.

14.5. Funció de proporcionalitat directa

Una funció de proporcionalitat directa és un tipus especial de funció on la sortida ($y$) és directament proporcional a l’entrada ($x$). Això vol dir que si dupliquem $x$, la $y$ també es duplica. Si tripliquem $x$, la $y$ es triplica, etc.

L’equació d’una funció de proporcionalitat directa sempre té la forma: $y = mx$ On $m$ és un número fix anomenat constant de proporcionalitat (o pendent).

El seu gràfic és sempre una línia recta que passa per l’origen de coordenades (0,0).

Exemple resolt:

Un cotxe es mou a una velocitat constant de 50 km/h. La distància que recorre ($y$) depèn del temps que ha passat ($x$). La funció és $y = 50x$.

• En 1 hora ($x=1$), recorre $y = 50(1) = 50$ km.
• En 2 hores ($x=2$), recorre $y = 50(2) = 100$ km.
• En 0 hores ($x=0$), recorre $y = 50(0) = 0$ km.

El gràfic és una recta que passa pel (0,0).

14.6. Funcions lineals i la seva representació

Les funcions de proporcionalitat directa són el tipus més bàsic de funció lineal. El seu nom ve del fet que el seu gràfic és sempre una línia recta.

La seva equació general és $y = mx$. El número $m$ s’anomena pendent de la recta. El pendent ens diu com d’inclinada és la recta:

• Si $m > 0$ (positiu), la recta és creixent (puja d’esquerra a dreta).
• Si $m < 0$ (negatiu), la recta és decreixent (baixa d’esquerra a dreta).
• Si $m = 0$, la recta és horitzontal.

Exemple resolt: Representar $y = -2x$

1. Creem una taula de valors: Només necessitem dos punts per dibuixar una recta, però farem tres per assegurar-nos.
   • Si $x=0$, $y = -2(0) = 0$. Punt (0,0).
   • Si $x=1$, $y = -2(1) = -2$. Punt (1,-2).
   • Si $x=2$, $y = -2(2) = -4$. Punt (2,-4).
2. Dibuixem els punts i els unim. Com que el pendent $m=-2$ és negatiu, la recta ha de ser decreixent.

14.7. Funció afí i comparació amb les funcions lineals

Una funció afí és molt semblant a una funció lineal. El seu gràfic també és una línia recta. La gran diferència és que no té per què passar per l’origen (0,0).

L’equació d’una funció afí és: $y = mx + n$

• $m$ continua sent el pendent, que determina la inclinació.
• $n$ és un terme nou anomenat ordenada a l’origen. És el valor de $y$ quan $x=0$, i ens indica el punt on la recta talla l’eix vertical (l’eix y).

Comparació visual: $y=2x$ (lineal) vs $y=2x+3$ (afí)

Ambdues tenen el mateix pendent ($m=2$), per tant, són rectes paral·leles. La diferència és que la primera talla l’eix y al punt 0, i la segona el talla al punt 3.

14.8. Aplicacions i eines digitals per a l’estudi de funcions

Avui dia, disposem de moltes eines digitals que ens faciliten enormement el treball amb funcions. Aquestes eines ens permeten visualitzar gràfics a l’instant, analitzar-los i entendre millor el seu comportament.

14.8.1. Ús de programes per representar i analitzar funcions

Programes com GeoGebra o Desmos (disponibles online i com a app) són calculadores gràfiques molt potents. Simplement escrius l’equació d’una funció, i el programa la dibuixa a l’instant. A més, et permeten:

• Trobar punts d’intersecció entre funcions.
• Calcular màxims i mínims.
• Fer zoom per veure detalls del gràfic.
• Crear taules de valors automàticament.

14.8.2. Interpretació i modificació de gràfics amb eines digitals

Aquestes eines són interactives. Per exemple, en funcions afins del tipus $y = mx + n$, podem crear “lliscadors” (sliders) per als valors de $m$ i $n$. En moure aquests lliscadors, veiem com canvia el gràfic en temps real.

• Si modifiques el lliscador de $m$ (pendent), veuràs com la recta canvia la seva inclinació.
• Si modifiques el lliscador de $n$ (ordenada a l’origen), veuràs com la recta es desplaça amunt i avall sense canviar la seva inclinació.

Aquesta interactivitat és clau per entendre de manera intuïtiva què representa cada paràmetre de l’equació.

Exercicis Interactius

Ara és el teu torn! Resol els següents exercicis per posar a prova el que has après.

Quiz de Conceptes

Relaciona Conceptes

Completa la Frase

Resol Pas a Pas

Càlcul Ràpid de Valors

Exercicis per practicar

Resol els següents exercicis al teu quadern per consolidar els teus coneixements.