Tema 16: Mesures i càlculs en geometria

Activitat 1: Obertura i Girs (Angles) 📐

📚 Teoria a connectar:

• Angle: Obertura entre dues línies que es toquen (vèrtex).
• Tipus: Agut ($<90^\circ$), Recte ($90^\circ$), Obtús ($>90^\circ$), Pla ($180^\circ$), Complet ($360^\circ$).
• Eina: El transportador.

❓ Preguntes:

• Pensa en les busques d’un rellotge. A les 3:00, formen una cantonada perfecta (angle recte). A les 6:00, formen una línia recta (angle pla).
• Per què una volta completa són 360 graus? (És una convenció antiga, però molt útil per dividir cercles).

💡 Exemple concret:

• Mesurar: Poses el centre del transportador al vèrtex.
• Alinees el zero amb una línia.
• Mires on cau l’altra línia. Si marca 45, és un angle Agut ($45^\circ$).

✍️ Exercici:

• Classifica aquests angles sense mesurar-los (a ull):
  • a) La cantonada d’un full de paper.
  • b) L’obertura d’unes tisores poc obertes.
  • c) Els braços oberts en creu.

Activitat 2: La Màgia dels Triangles (Polígons) 🔷

📚 Teoria a connectar:

• Suma d’angles interiors: Tots els polígons es poden dividir en triangles.
• Fórmula: $(n-2) \times 180^\circ$.
• Un triangle sempre suma $180^\circ$.

❓ Preguntes:

• Si trenques un plat (cercle), els trossos tenen costats rectes. Però en geometria, un polígon ha de ser tancat.
• Per què un quadrat suma $360^\circ$? Perquè pots partir-lo en 2 triangles ($180 + 180$).

💡 Exemple concret:

• Pentàgon (5 costats):
  • $n = 5$.
  • Fórmula: $(5 - 2) \times 180 = 3 \times 180 = 540^\circ$.
  • Això vol dir que si sumes les 5 cantonades d’un pentàgon, sempre dóna 540.

✍️ Exercici:

• Calcula quant sumen els angles d’un Hexàgon (6 costats).
  • Resta 2 al nombre de costats.
  • Multiplica per 180.

Activitat 3: El Senyor Pi ($\pi$) 🥧

📚 Teoria a connectar:

• Circumferència: La vora (línea).
• Cercle: El farcit (superfície).
• Radi ($r$) i Diàmetre ($d$): $d = 2r$.
• Constant $\pi$: $3.14$. Relació entre la volta i l’amplada.

❓ Preguntes:

• Si tens una llauna rodona, què és més llarg: la distància d’un costat a l’altre (diàmetre) o la distància al voltant de la llauna (longitud)?
• La volta sempre és “3 i una mica” vegades més gran que l’amplada. Aquest “3 i una mica” és $\pi$.

💡 Exemple concret:

• Calcular la longitud (perímetre) d’una roda de radi 10 cm.
• Fórmula: $L = 2 \cdot \pi \cdot r$.
• $L = 2 \cdot 3.14 \cdot 10 = 62.8$ cm.

✍️ Exercici:

• Una pizza té un diàmetre de 30 cm.
  • Quant mesura el radi?
  • Calcula la longitud de la vora (la crosta).

Activitat 4: Pintar o Vallar? (Perímetre vs Àrea) 🎨

📚 Teoria a connectar:

• Perímetre ($P$): Suma dels costats (posar la valla). Unitats lineals ($m$).
• Àrea ($A$): Superfície interior (pintar). Unitats quadrades ($m^2$).

❓ Preguntes:

• Si vols posar una tanca al jardí, calcules l’àrea o el perímetre?
• Si vols posar gespa al jardí, calcules l’àrea o el perímetre?

💡 Exemple concret:

• Rectangle de base 8 cm i alçada 5 cm.
  • Perímetre: $8 + 5 + 8 + 5 = 26$ cm.
  • Àrea: $8 \times 5 = 40$ $cm^2$.

✍️ Exercici:

• Calcula l’àrea d’un triangle que té base 10 cm i alçada 4 cm.
  • Recorda la fórmula: Base per alçada dividit entre 2.

Activitat 5: El Món 3D (Volums) 📦

📚 Teoria a connectar:

• Volum: Espai que ocupa un cos. Unitats cúbiques ($m^3$, $cm^3$).
• Idea general: Àrea de la base $\times$ Alçada. (Excepte piràmides/cons que es divideixen per 3).

❓ Preguntes:

• Quanta aigua cap en un got?
• Quant paper necessito per embolicar el got?

💡 Exemple concret:

• Cilindre de radi 4 cm i alçada 10 cm.
  1. Àrea de la base (cercle): $\pi \cdot r^2 = 3.14 \cdot 4^2 = 3.14 \cdot 16 = 50.24$ $cm^2$.
  2. Volum: Base $\cdot$ Alçada $= 50.24 \cdot 10 = 502.4$ $cm^3$.

✍️ Exercici:

• Un cub té una aresta (costat) de 3 cm.
  • Quin volum té? (Recorda: $3 \times 3 \times 3$).

Activitat 6: La drecera (Teorema de Pitàgores) 🔺

📚 Teoria a connectar:

• Només triangles rectangles!
• Hipotenusa ($c$): Costat llarg (inclinat).
• Catets ($a, b$): Costats que fan la L (rectes).
• Fórmula: $c^2 = a^2 + b^2$.

❓ Preguntes:

• Per creuar un parc rectangular, què és més ràpid: fer tota la volta per les voreres (els catets) o creuar en diagonal per la gespa (hipotenusa)?

[Image of visual proof of Pythagoras theorem with squares on sides]

💡 Exemple concret:

• Triangle amb catets de 6 cm i 8 cm. Quant fa la hipotenusa ($c$)?
  • $c^2 = 6^2 + 8^2$
  • $c^2 = 36 + 64 = 100$
  • $c = \sqrt{100} = 10$ cm.

✍️ Exercici:

• Calcula la hipotenusa d’un triangle rectangle amb catets de 3 cm i 4 cm.
  • Eleva’ls al quadrat, suma’ls i fes l’arrel quadrada del resultat.