Teoria

Aprèn a mesurar angles, analitzar les propietats de figures planes i cossos geomètrics, i a calcular perímetres, àrees, superfícies i volums.

Benvingut/da a la unitat de geometria! Aquí explorarem el món de les formes, des dels angles i les figures planes fins als cossos tridimensionals. Aprendrem a mesurar-los, a entendre les seves propietats i a calcular-ne les dimensions clau. Anem a començar! 📐

16.1. Mesura d’angles i ús d’instruments

Un angle és la regió del pla compresa entre dues semirectes (costats) que tenen un origen comú (vèrtex). La seva mesura ens indica com d’oberta és aquesta regió.

Sistema sexagesimal: Tipus d’angles

El sistema més comú per mesurar angles és el sexagesimal, la unitat del qual és el grau (°). Una circumferència completa té 360°. Els angles es classifiquen segons la seva mida:

Angle Agut

Menys de 90°

Angle Recte

Exactament 90°

Angle Obtús

Més de 90° i menys de 180°

Angle Pla

Exactament 180°

Angle Complet

Exactament 360°

Ús del transportador d’angles

El transportador és l’eina que fem servir per mesurar o dibuixar angles.

Per mesurar un angle: Col·loca el centre del transportador sobre el vèrtex de l’angle. Alinea la línia del 0° amb un dels costats de l’angle. Llegeix els graus on l’altre costat creua l’escala del transportador.
Per dibuixar un angle: Dibuixa una línia base. Col·loca el centre del transportador en un extrem de la línia (que serà el vèrtex). Fes una marca als graus desitjats i uneix aquesta marca amb el vèrtex.

16.2. Figures planes i propietats

Les figures planes són formes bidimensionals. Les més importants són els polígons i la circumferència.

Figures elementals: triangles, quadrilàters i altres polígons

Un polígon és una figura plana tancada limitada per segments rectes. Es classifiquen segons el seu nombre de costats.

Triangle

3 costats

Quadrilàter (Quadrat)

4 costats

Pentàgon

5 costats

Hexàgon

6 costats

Suma d’angles d’un polígon

La suma dels angles interiors d’un polígon depèn del seu nombre de costats ( $n$ ). La fórmula és:

Suma d’angles = $(n - 2) \times 180°$

Exemple: Pentàgon (5 costats)

Identifiquem n: Per a un pentàgon, $n=5$ .
Apliquem la fórmula: Suma = $(5 - 2) \times 180°$ Suma = $3 \times 180°$ Suma = $540°$

La suma dels angles interiors d’un pentàgon sempre és 540°.

Un pentàgon es pot dividir en 3 triangles (5-2=3). Com que cada triangle suma 180°, el total és 3 x 180° = 540°.

Polígons regulars: elements característics

Un polígon regular té tots els costats i tots els angles iguals. Els seus elements principals són:

Vèrtex: Punt on s'uneixen dos costats.
Costat: Cadascun dels segments que formen el polígon.
Centre: Punt interior que està a la mateixa distància de tots els vèrtexs.
Radi (r): Segment que uneix el centre amb un vèrtex.
Apotema (a): Segment perpendicular que uneix el centre amb el punt mitjà d'un costat.

Circumferència: elements i propietats

La circumferència és una línia corba, tancada i plana, els punts de la qual estan tots a la mateixa distància d’un punt interior anomenat centre. El cercle és la superfície interior.

Centre: Punt central.
Radi (r): Distància del centre a qualsevol punt de la circumferència.
Diàmetre (d): Segment que passa pel centre i uneix dos punts de la circumferència. És el doble del radi ($d=2r$).
Corda: Segment que uneix dos punts de la circumferència sense passar pel centre.
Arc: Porció de la circumferència limitada per dos punts.

Càlcul de perímetres i àrees de polígons i cercle

Perímetre: És la longitud total del contorn d’una figura. Es calcula sumant la longitud de tots els seus costats.
Àrea: És la mesura de la superfície que ocupa una figura.

Fórmules principals:

Figura	Perímetre (P)	Àrea (A)
Quadrat	P = 4 × c	A = c²
Rectangle	P = 2 × (b + h)	A = b × h
Triangle	P = c₁ + c₂ + c₃	A = (b × h) / 2
Polígon Regular	P = n × c	A = (P × a) / 2
Cercle	P = 2 × π × r (Longitud)	A = π × r²

Exemple resolt: Àrea i perímetre d’un rectangle

Calcula el perímetre i l’àrea d’un rectangle amb una base de 8 cm i una altura de 5 cm.

Dades: $b = 8$ cm, $h = 5$ cm.
Perímetre: $P = 2 \times (b + h)$ $P = 2 \times (8 + 5)$ $P = 2 \times 13 = 26$ cm.
Àrea: $A = b \times h$ $A = 8 \times 5 = 40$ cm².

El perímetre és de 26 cm i l’àrea és de 40 cm².

16.3. Figures en l’espai i càlculs associats

Les figures en l’espai, o cossos geomètrics, tenen tres dimensions: llargada, amplada i alçada.

Prismes, piràmides, cilindres, cons i esferes

Prisma

Dues bases poligonals iguals i paral·leles; cares laterals són rectangles.

Piràmide

Una base poligonal i cares laterals triangulars que es troben en un vèrtex.

Cilindre

Dues bases circulars iguals i paral·leles.

Con

Una base circular i una superfície lateral corba que acaba en un vèrtex.

Esfera

Cos rodó on tots els punts de la seva superfície estan a la mateixa distància del centre.

Càlcul de superfícies i volums

Superfície (o Àrea Total): És la suma de les àrees de totes les cares (o superfícies) d’un cos geomètric.
Volum: És l’espai que ocupa un cos geomètric.

Fórmules principals:

Figura	Superfície (A_T)	Volum (V)
Cub (aresta a)	A_T = 6 × a²	V = a³
Prisma	A_T = 2 × A_base + A_lateral	V = A_base × h
Piràmide	A_T = A_base + A_lateral	V = (A_base × h) / 3
Cilindre	A_T = 2πr(r+h)	V = πr²h
Con	A_T = πr(r+g) (g=generatriu)	V = (πr²h) / 3
Esfera	A_T = 4πr²	V = (4/3)πr³

Exemple resolt: Volum d’un cilindre

Calcula el volum d’un cilindre que té un radi de 4 cm i una alçada de 10 cm. (Usa $\pi \approx 3.14$ ).

Dades: $r = 4$ cm, $h = 10$ cm.
Fórmula del volum: $V = \pi r^2 h$ .
Càlcul: $V = 3.14 \times (4^2) \times 10$ $V = 3.14 \times 16 \times 10$ $V = 50.24 \times 10 = 502.4$ cm³.

El volum del cilindre és de 502.4 cm³.

Aplicació del Teorema de Pitàgores

El Teorema de Pitàgores s’aplica NOMÉS als triangles rectangles. Estableix que la suma dels quadrats dels catets és igual al quadrat de la hipotenusa.

Fórmula: $a^2 + b^2 = c^2$

Catets (a, b): Els dos costats que formen l’angle recte (90°).
Hipotenusa (c): El costat més llarg, oposat a l’angle recte.

Aquest teorema és molt útil per trobar la longitud d’un costat desconegut en un triangle rectangle, o per calcular alçades, apotemes o generatrius en figures planes i cossos geomètrics.

Exemple resolt: Calcular la hipotenusa

Un triangle rectangle té catets de 6 cm i 8 cm. Quant mesura la hipotenusa?

Dades: $a = 6$ cm, $b = 8$ cm.
Fórmula: $c^2 = a^2 + b^2$ .
Càlcul: $c^2 = 6^2 + 8^2$ $c^2 = 36 + 64$ $c^2 = 100$ $c = \sqrt{100} = 10$ cm.

La hipotenusa mesura 10 cm.

🔑

Key Terms

Angle: Regió del pla compresa entre dues semirectes amb un origen comú.
Sistema Sexagesimal: Sistema de mesura d'angles basat en el grau (°).
Polígon: Figura plana tancada limitada per segments rectes.
Perímetre: Longitud del contorn d'una figura plana.
Àrea: Mesura de la superfície interior d'una figura plana.
Circumferència: Línia corba tancada on tots els punts estan a la mateixa distància del centre.
Pi (π): Constant matemàtica que relaciona la longitud d'una circumferència amb el seu diàmetre (aprox. 3.14).
Cos geomètric: Figura tridimensional que ocupa un espai.
Volum: Mesura de l'espai que ocupa un cos geomètric.
Teorema de Pitàgores: En un triangle rectangle, la suma dels quadrats dels catets és igual al quadrat de la hipotenusa ($a^2 + b^2 = c^2$).
Catet: Cadascun dels dos costats que formen l'angle recte en un triangle rectangle.
Hipotenusa: Costat més llarg d'un triangle rectangle, oposat a l'angle recte.

Exercicis Interactius

És hora de posar a prova els teus coneixements!

Quizz de conceptes geomètrics

Quiz

1. Com s'anomena un angle que mesura exactament 90°?

2. Quina és la fórmula per calcular la suma dels angles interiors d'un polígon de 'n' costats?

3. El Teorema de Pitàgores s'aplica a...

Quiz

1. El segment que uneix el centre d'un polígon regular amb el punt mitjà d'un costat s'anomena...

2. Si el radi d'un cercle és de 5 cm, quant mesura el seu diàmetre?

3. Quin cos geomètric té dues bases circulars i paral·leles?

Quiz

1. La fórmula per calcular l'àrea d'un cercle és...

2. En un triangle rectangle, els costats que formen l'angle de 90° s'anomenen...

3. Quants graus suma un angle complet?

Relaciona cada figura amb la seva fórmula d’àrea

Matching Exercise

Drag the items on the right to match the descriptions on the left.

Quadrat (costat c)

Triangle (base b, alçada h)

Cercle (radi r)

Rectangle (base b, alçada h)

Arrossega les paraules per completar la definició

Drag the Words

Drag the words from the bank into the correct blanks in the text.

El Teorema de

diu que en un triangle rectangle, la suma dels quadrats dels

és igual al quadrat de la

Resol problemes pas a pas

Problem Solving

Calcula l’àrea i el perímetre d’un rectangle de 12 cm de base i 5 cm d’alçada.

Pas 1: Escriu la fórmula de l'àrea del rectangle (A = b × h)

Pas 2: Calcula el producte.

Pas 3: Escriu la fórmula del perímetre (P = 2(b+h))

Pas 4: Resol el càlcul del perímetre.

Problem Solving

Calcula la hipotenusa d’un triangle rectangle amb catets que mesuren 5 cm i 12 cm.

Pas 1: Identifica els catets (a=5, b=12) i aplica Pitàgores: c² = a² + b²

Pas 2: Calcula els quadrats.

Pas 3: Suma els resultats.

Pas 4: Calcula l'arrel quadrada per trobar c.

Problem Solving

Calcula el volum i l’àrea total d’un cub amb una aresta de 4 cm.

Pas 1: Escriu la fórmula del volum del cub (V = a³)

Pas 2: Calcula el volum.

Pas 3: Escriu la fórmula de l'àrea total (A = 6a²)

Pas 4: Resol el càlcul de l'àrea.

Càlculs ràpids (Usa π = 3.14)

Perímetres i Àrees

Perímetre d'un quadrat de costat 5 cm?

Àrea d'un quadrat de costat 5 cm?

Perímetre d'un rectangle 6x4 cm?

Àrea d'un rectangle 6x4 cm?

Longitud d'un cercle de radi 10 cm?

Àrea d'un cercle de radi 10 cm?

Àrea d'un triangle b=8, h=5 cm?

Suma angles d'un hexàgon?

Perímetre d'un pentàgon regular de costat 7cm?

Longitud d'un cercle de diàmetre 2cm?

Volums i Pitàgores

Volum d'un cub d'aresta 3 cm?

Hipotenusa si catets són 3 i 4 cm?

Volum cilindre r=2, h=10 cm?

Àrea total d'un cub d'aresta 2 cm?

Volum esfera de radi 1 cm?

Catet que falta si hip=10, cat=6?

Volum d'un prisma base 20cm², h=5cm?

Volum piràmide base 30cm², h=10cm?

Volum con r=3, h=10 cm?

Àrea esfera de radi 5 cm?

Exercicis per practicar

Resol els següents exercicis al teu quadern per consolidar el que has après.

✏️

Exercise

Angles i Polígons

Dibuixa un angle de 125° amb un transportador i classifica’l.
Calcula la suma dels angles interiors d’un octàgon (8 costats).
Si un polígon regular de 9 costats (enneàgon) té una suma d’angles de 1260°, quant mesura cada angle interior?
Un angle mesura 45°. Quin tipus d’angle és el seu complementari (l’angle que sumat a 45° dóna 90°)?
Dibuixa un polígon de 7 costats.

Perímetres i Àrees de Figures Planes (Utilitza π ≈ 3,14)

Calcula el perímetre i l’àrea d’un rectangle de 15 cm de base i 8 cm d’altura.
Calcula l’àrea d’un triangle la base del qual mesura 20 m i la seva altura és de 12 m.
Troba la longitud d’una circumferència que té un diàmetre de 50 cm.
Calcula l’àrea d’un cercle amb un radi de 8 cm.
El perímetre d’un quadrat és de 48 cm. Quina és la seva àrea?
Calcula l’àrea d’un hexàgon regular de 6 cm de costat i 5,2 cm d’apotema.
L’àrea d’un rectangle és de 72 m² i la seva base mesura 9 m. Quant mesura la seva altura?
Troba l’àrea d’un rombe amb diagonals de 10 cm i 16 cm. (Pista: A = (D*d)/2).
Calcula el perímetre d’un triangle isòsceles amb dos costats de 10 cm i un costat de 12 cm.
Una roda de bicicleta té un radi de 35 cm. Quina distància recorre en una volta completa?

Teorema de Pitàgores

Els catets d’un triangle rectangle mesuren 5 cm i 12 cm. Calcula la hipotenusa.
La hipotenusa d’un triangle rectangle mesura 25 m i un dels catets 20 m. Calcula l’altre catet.
Una escala de 5 metres de llargada està recolzada en una paret. La base de l’escala està a 3 metres de la paret. A quina altura de la paret arriba l’escala?
Calcula la diagonal d’un quadrat de 10 cm de costat.
Calcula l’altura d’un triangle equilàter de 8 cm de costat.

Àrees i Volums de Cossos Geomètrics (Usa π ≈ 3,14)

Calcula l’àrea total i el volum d’un cub de 6 cm d’aresta.
Calcula el volum d’un prisma rectangular amb dimensions de 4 cm, 5 cm i 10 cm.
Calcula l’àrea de la superfície i el volum d’una esfera de 10 cm de radi.
Un cilindre té un radi de 4 cm i una altura de 15 cm. Calcula el seu volum.
Calcula el volum d’un con que té un radi de 9 cm i una altura de 12 cm.
Calcula l’àrea lateral d’un cilindre de 5 cm de radi i 20 cm d’altura (Pista: $A_L = 2\pi rh$ ).
Quin és el volum d’una piràmide de base quadrada de 5 cm de costat i 10 cm d’altura?
Una llauna de refresc té forma de cilindre. Si té un diàmetre de 6 cm i una altura de 12 cm, quin és el seu volum?
Calcula el volum d’una pilota de bàsquet si el seu radi és de 12 cm.
Quanta cartolina es necessita per construir un con amb un radi de 8 cm i una generatriu de 17 cm? (Calcula l’àrea total).