Tema 4: Nombres Primers i Divisibilitat

Activitat 1: Els àtoms de les matemàtiques ⚛️

📚 Teoria a connectar:

• Nombres Primers: Només es divideixen per 1 i ells mateixos (Ex: 2, 3, 5, 7…).
• Nombres Compostos: Tenen més divisors (Ex: 4, 6, 8, 9…).
• El cas especial del número 1.

❓ Preguntes:

• Imagina que tens 7 peces de LEGO quadrades. Pots construir un rectangle perfecte que tingui més d’una fila d’alçada? (No, només pots fer una fila de 7). Això passa perquè 7 és Primer.
• I si tens 6 peces? Pots fer una fila de 6, o dos files de 3. Això passa perquè 6 és Compost.

💡 Exemple concret:

• Mirem els primers números:
  • 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… Són Primers. Ningú els pot dividir exactament excepte ells mateixos i l’1.
  • 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20… Són Compostos. Es poden “trencar” en parts més petites.

✍️ Exercici:

• Tens el número 13 i el número 15. Quin dels dos pots dividir per fer grups iguals (sense comptar grups d’1 o del mateix número)? Quin és primer i quin és compost?

Activitat 2: Desmuntant el Nombre 🏭

📚 Teoria a connectar:

• Descomposició factorial: Convertir un nombre compost en una multiplicació de només nombres primers.
• Ús de la línia vertical per dividir successivament.

❓ Preguntes:

• Si el nombre 48 fos una màquina, quines són les peces més petites (primes) que la formen?
• Per què comencem dividint sempre pel nombre primer més petit (2) fins que ja no podem més?

💡 Exemple concret:

• Descomponem el 48:
  1. $48 \div 2 = 24$
  2. $24 \div 2 = 12$
  3. $12 \div 2 = 6$
  4. $6 \div 2 = 3$
  5. $3$ no es pot dividir per $2$. Passem al $3$. $3 \div 3 = 1$.
  • Resultat: $48 = 2^4 \times 3$ (Quatre dosos i un tres).

✍️ Exercici:

• Fes el mateix procés per al número 60.
  • Pista: Comença dividint per 2. Quan ja no puguis per 2, prova pel 3. I després pel 5. Escriu la multiplicació final.

Activitat 3: El Màxim Comú Divisor (MCD) 🤝

📚 Teoria a connectar:

• MCD: El divisor comú més gran. Serveix per repartir coses en grups iguals el més grans possible.
• Regla: Agafem els factors comuns al menor exponent.

❓ Preguntes:

• Tens 20 pomes i 30 taronges. Vols fer bosses de fruita iguals per regalar. Quin és el nombre màxim de bosses que pots fer perquè no sobri res i totes les bosses tinguin el mateix contingut?
• Per què en el diagrama de Venn ens fixem només en la part del mig (intersecció)?

💡 Exemple concret:

• MCD de 20 i 30.
  • $20 = 2^2 \times 5$
  • $30 = 2 \times 3 \times 5$
  • Què tenen en comú? Un $2$ i un $5$.
  • Agafem els de menor exponent: $2^1$ i $5^1$.
  • $MCD = 2 \times 5 = 10$.
  • Resposta: Podem fer bosses de 10 fruites (o 10 bosses, depenent de l’enfocament). El divisor comú més gran és 10.

✍️ Exercici:

• Calcula l’MCD de 24 i 36.
  1. Descompon 24 ($2^3 \times 3$).
  2. Descompon 36 ($2^2 \times 3^2$).
  3. Agafa els comuns amb l’exponent petit. Quin nombre et surt?

Activitat 4: El Mínim Comú Múltiple (MCM) ⏱️

📚 Teoria a connectar:

• MCM: El primer número on coincideixen les taules de multiplicar de dos nombres.
• Regla: Agafem tots els factors (comuns i no comuns) al major exponent.

❓ Preguntes:

• Un semàfor es posa verd cada 12 segons. Un altre es posa verd cada 9 segons. Si s’encenen junts ara, quants segons passaran fins que tornin a coincidir?
• Per què el resultat de l’MCM sempre serà igual o més gran que els nombres que tenim?

💡 Exemple concret:

• MCM de 12 i 9.
  • $12 = 2^2 \times 3$
  • $9 = 3^2$
  • Agafem TOTS els tipus de factors ($2$ i $3$).
  • Agafem l’exponent GRAN de cadascun: $2^2$ i $3^2$.
  • $MCM = 4 \times 9 = 36$.
  • Resposta: Coincidiran al segon 36.

✍️ Exercici:

• Dos corredors entrenen en una pista. Un triga 6 minuts a fer una volta i l’altre en triga 8. Si surten alhora, al cap de quants minuts es tornaran a trobar a la línia de sortida? (Calcula l’MCM de 6 i 8).