Nombres primers, MCD i MCM

En aquesta unitat explorarem els maons fonamentals dels nombres: els nombres primers. Entendre’ls ens permetrà descompondre qualsevol altre nombre en les seves parts essencials i ens donarà les eines per calcular dues magnituds molt importants: el Màxim Comú Divisor (MCD) i el Mínim Comú Múltiple (MCM).

Nombres Primers

Un nombre primer és un nombre natural més gran que 1 que només té dos divisors: l’1 i ell mateix. És a dir, no es pot dividir de manera exacta per cap altre nombre.

Els nombres que no són primers s’anomenen nombres compostos. Aquests tenen més de dos divisors.

Aquí pots veure els nombres de l’1 al 20 classificats:

Exemple: El número 7 és primer perquè només el podem dividir per 1 i per 7. En canvi, el 6 és compost perquè el podem dividir per 1, 2, 3 i 6.

Descomposició en Factors

La descomposició en factors primers (o factorització) és el procés de representar un nombre compost com un producte dels seus factors primers. Cada nombre compost té una única descomposició en factors primers.

Per descompondre un nombre, el dividim pel nombre primer més petit possible de manera successiva fins a arribar a 1.

Exemple resolt: Descomposició de 48

1. Comencem amb el 48. El dividim pel primer nombre primer, el 2.
2. $48 \div 2 = 24$. Com que 24 encara és parell, tornem a dividir per 2.
3. $24 \div 2 = 12$. Tornem a dividir per 2.
4. $12 \div 2 = 6$. Tornem a dividir per 2.
5. $6 \div 2 = 3$. Ara 3 no és divisible per 2. Passem al següent primer, que és el 3.
6. $3 \div 3 = 1$. Hem arribat a 1, així que hem acabat.

Aquest procés se sol escriure amb una línia vertical:

Així, la descomposició de 48 en factors primers és: $48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3$.

Visualment, ho podem imaginar com un “arbre de factors”:

Màxim Comú Divisor (MCD)

El Màxim Comú Divisor (MCD) de dos o més nombres és el divisor comú més gran que tenen.

Per calcular-lo, seguim aquests passos:

1. Descomponem cada nombre en factors primers.
2. Triem només els factors primers comuns.
3. De cada factor comú, triem el que tingui l’exponent més petit.
4. Multipliquem aquests factors.

Exemple resolt: MCD de 20 i 30

1. Descomponem els nombres:
   • $20 = 2^2 \times 5$
   • $30 = 2 \times 3 \times 5$
2. Factors comuns: Els factors que apareixen en ambdues descomposicions són el 2 i el 5.
3. Menor exponent:
   • Per al factor 2, tenim $2^2$ i $2^1$. El menor és $2^1$.
   • Per al factor 5, tenim $5^1$ i $5^1$. L’exponent és el mateix, $5^1$.
4. Multipliquem: $MCD(20, 30) = 2^1 \times 5^1 = 10$.

El divisor comú més gran de 20 i 30 és 10.

Podem visualitzar els factors amb un diagrama de Venn. La intersecció conté els factors per al MCD.

Mínim Comú Múltiple (MCM)

El Mínim Comú Múltiple (MCM) de dos o més nombres és el múltiple comú més petit diferent de zero.

Per calcular-lo, seguim aquests passos:

1. Descomponem cada nombre en factors primers.
2. Triem tots els factors primers, comuns i no comuns.
3. De cada factor, triem el que tingui l’exponent més gran.
4. Multipliquem aquests factors.

Exemple resolt: MCM de 12 i 9

1. Descomponem els nombres:
   • $12 = 2^2 \times 3$
   • $9 = 3^2$
2. Factors comuns i no comuns: Els factors que apareixen són el 2 i el 3.
3. Major exponent:
   • Per al factor 2, només apareix a 12 com a $2^2$. El triem.
   • Per al factor 3, tenim $3^1$ i $3^2$. El més gran és $3^2$.
4. Multipliquem: $MCM(12, 9) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.

El múltiple comú més petit de 12 i 9 és 36.

Exercicis Interactius

És el moment de posar a prova els teus coneixements.

Exercicis per practicar

Resol les següents operacions al teu quadern.