Fraccions

1.1. Expressió de quantitats i fraccions en la vida quotidiana

Una fracció representa una part d’una unitat o d’un total que ha estat dividit en parts iguals. S’escriu amb dos nombres separats per una línia:

• El Denominador (el nombre de baix) indica en quantes parts iguals es divideix el total.
• El Numerador (el nombre de dalt) indica quantes d’aquestes parts estem considerant.

Pensa en una pizza 🍕. Si la talles en 8 trossos iguals i te’n menges 3, hauràs menjat $\frac{3}{8}$ de la pizza.

Les fraccions són a tot arreu:

• A la cuina: “Afegeix mitja tassa ($\frac{1}{2}$) de sucre.”
• Mesurant el temps: “Falten tres quarts ($\frac{3}{4}$) d’hora per acabar la classe.”
• En descomptes: “Aquesta samarreta té un descompte d’un terç ($\frac{1}{3}$) del preu original.”

1.2. Operacions amb fraccions: suma, resta, multiplicació i divisió

Operar amb fraccions és fonamental. Vegem com fer les quatre operacions bàsiques.

Suma i Resta de Fraccions

1. Amb el mateix denominador: Si els denominadors són iguals, simplement sumem o restem els numeradors i mantenim el mateix denominador.

• Exemple (Suma): $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$
• Exemple (Resta): $\frac{9}{10} - \frac{4}{10} = \frac{9-4}{10} = \frac{5}{10}$

2. Amb diferent denominador: Si els denominadors són diferents, primer hem de trobar un denominador comú (normalment el mínim comú múltiple o m.c.m.) i convertir les fraccions en equivalents.

• Exemple resolt: $\frac{1}{4} + \frac{2}{3}$
  1. Trobem el m.c.m. de 4 i 3, que és 12.
  2. Convertim cada fracció a una d’equivalent amb denominador 12.
     • Per a $\frac{1}{4}$: $12 \div 4 = 3$. Multipliquem numerador i denominador per 3: $\frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$.
     • Per a $\frac{2}{3}$: $12 \div 3 = 4$. Multipliquem numerador i denominador per 4: $\frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$.
  3. Ara sumem les fraccions equivalents: $$\frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{3+8}{12} = \frac{11}{12}$$

Multiplicació de Fraccions

Per multiplicar fraccions, simplement multipliquem els numeradors entre si i els denominadors entre si.

• Exemple resolt: $\frac{3}{5} \times \frac{2}{7}$ $$\frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{3 \times 2}{5 \times 7} = \frac{6}{35}$$

Divisió de Fraccions

Per dividir dues fraccions, multipliquem la primera fracció per la inversa de la segona (invertim el numerador i el denominador de la segona fracció). Aquest mètode s’anomena “multiplicar en creu”.

• Exemple resolt: $\frac{1}{2} \div \frac{3}{4}$
  1. Invertim la segona fracció: $\frac{3}{4}$ es converteix en $\frac{4}{3}$.
  2. Multipliquem: $$\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \times 4}{2 \times 3} = \frac{4}{6}$$

5.3. Fraccions equivalents i simplificació

Les fraccions equivalents són aquelles que, tot i tenir numeradors i denominadors diferents, representen la mateixa quantitat. Per exemple, $\frac{1}{2}$ és equivalent a $\frac{2}{4}$, $\frac{4}{8}$, etc.

Podem obtenir fraccions equivalents de dues maneres:

• Amplificació: Multiplicant el numerador i el denominador pel mateix nombre.
  • Exemple: $\frac{2}{5} \xrightarrow{\times 3} \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15}$.
• Simplificació: Dividint el numerador i el denominador pel mateix nombre (un divisor comú).
  • Exemple: $\frac{10}{20} \xrightarrow{\div 10} \frac{10 \div 10}{20 \div 10} = \frac{1}{2}$.

La simplificació de fraccions consisteix a reduir una fracció a la seva expressió més simple, anomenada fracció irreductible, on el numerador i el denominador no tenen cap divisor comú excepte l’1.

• Exemple resolt: Simplificar $\frac{18}{24}$
  1. Busquem un divisor comú. Ambdós són divisibles per 2: $$\frac{18 \div 2}{24 \div 2} = \frac{9}{12}$$
  2. La nova fracció encara es pot simplificar. Busquem un altre divisor comú. Ambdós són divisibles per 3: $$\frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$$
  3. Ara, 3 i 4 no tenen cap divisor comú a part de l’1. Per tant, $\frac{3}{4}$ és la fracció irreductible.

Exercicis interactius

Exercicis per entregar

Resol les següents operacions al teu quadern. Recorda simplificar sempre el resultat final.