Tema 6: Potències

Activitat 1: El Superpoder de la Multiplicació 🚀

📚 Teoria a connectar:

• Potència: Multiplicació repetida ($a^n$).
• Base ($a$): El número que es repeteix.
• Exponent ($n$): Quantes vegades multipliquem la base.
• Casos especials: Exponent 1 ($a^1=a$) i Exponent 0 ($a^0=1$).

❓ Preguntes:

• Si envies un missatge a 2 amics, i cadascun l’envia a 2 més, i així successivament… com calcules quanta gent ho rep al cap de 10 passos? Escriure $2 \times 2 \times 2 \dots$ és molt llarg. Com ho abreuges?
• Per què diem que $5^3$ NO és $15$? ($5 \times 3$ és suma repetida, $5^3$ és multiplicació repetida).

💡 Exemple concret:

• Visualitzem $4^3$:
  • No és $4+4+4$ (això seria $4 \times 3$).
  • És $4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64$.
• Cas curiós: $99^0 = 1$. Qualsevol nombre (excepte 0) elevat a 0 dóna 1.

✍️ Exercici:

• Calcula el valor de $2^3$ i el valor de $3^2$. Són el mateix resultat? Això demostra que en les potències l’ordre sí que importa (no és commutativa com la multiplicació).

Activitat 2: El Parany dels Signes ⛔

📚 Teoria a connectar:

• Base Positiva: Resultat sempre positiu.
• Base Negativa:
  • Exponent Parell $\rightarrow$ Resultat Positiu ($+$).
  • Exponent Senar $\rightarrow$ Resultat Negatiu ($-$).
• Important: La diferència entre $(-3)^2$ i $-3^2$.

❓ Preguntes:

• Per què si multipliques dos negatius dóna positiu? (L’amic del meu enemic és el meu amic). Això explica per què un exponent parell “cancel·la” el signe menys.
• Què passa si multipliques tres negatius? (Menys per menys és més… i per menys torna a ser menys).

💡 Exemple concret:

• Exponent Parell: $(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16$. (Positiu).
• Exponent Senar: $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$. (Negatiu).

✍️ Exercici:

• Sense calcular el número final, digues quin signe tindrà el resultat d’aquestes potències:
  • a) $(-5)^{10}$
  • b) $(-5)^{11}$
  • c) $-5^{10}$ (Vigila!)

Activitat 3: Sumes impossibles? 🍏🍎

📚 Teoria a connectar:

• Suma/Resta: Només pots agrupar si tenen exactament la mateixa base i exponent (factor comú).
• Si són diferents, has de calcular el valor de cadascuna per separat.

❓ Preguntes:

• Pots dir que $2^3 + 2^4 = 2^7$? Fes la prova amb números: $8 + 16 = 24$. Però $2^7 = 128$. Veus com no funciona?
• Les potències funcionen com “objectes”. Només pots sumar “pomes amb pomes” ($3 \cdot x^2 + 5 \cdot x^2$).

💡 Exemple concret:

• Cas Diferent: $5^2 - 3^2$. No hi ha drecera.
  • Calculem: $25 - 9 = 16$.
• Cas Idèntic: $2 \cdot 3^4 + 5 \cdot 3^4$.
  • Aquí tenim “2 vegades una cosa” més “5 vegades la mateixa cosa”.
  • Resultat: $(2+5) \cdot 3^4 = 7 \cdot 3^4$.

✍️ Exercici:

• Resol aquesta operació: $10^2 + 4^2$. (Recorda: No sumis les bases ni els exponents! Calcula primer quant val cada potència).

Activitat 4: Dreceres de Càlcul (Multiplicar i Dividir) ⚡

📚 Teoria a connectar:

• Mateixa Base:
  • Multiplicar $\rightarrow$ Sumar exponents ($a^m \times a^n = a^{m+n}$).
  • Dividir $\rightarrow$ Restar exponents ($a^m \div a^n = a^{m-n}$).
• Mateix Exponent: Multiplicar o dividir les bases i mantenir l’exponent.

❓ Preguntes:

• Per què sumem exponents quan multipliquem? Imagina $2^2 \times 2^3$. Tens $(2 \times 2)$ per una banda i $(2 \times 2 \times 2)$ per l’altra. Si els poses tots junts multiplicant, quants dosos tens en total? (2 + 3 = 5).

💡 Exemple concret:

• Multiplicació (bases iguals): $3^4 \times 3^2 = 3^{4+2} = 3^6$.
• Divisió (bases iguals): $7^5 \div 7^3 = 7^{5-3} = 7^2 = 49$.
• Mateix exponent: $10^4 \div 5^4 = (10 \div 5)^4 = 2^4 = 16$. (Molt més ràpid que calcular 10.000 dividit per 625!).

✍️ Exercici:

• Simplifica en una sola potència:
  • a) $5^6 \times 5^3$
  • b) $x^8 \div x^2$