1. Potències

La potència és una operació matemàtica que representa una multiplicació repetida. És una manera abreujada d’escriure un nombre multiplicat per si mateix diverses vegades. Entendre-la bé és clau per avançar en àlgebra i altres àrees de les matemàtiques.

Una potència té dues parts principals: la base (el nombre que es multiplica) i l’exponent (el nombre de vegades que es multiplica). S’escriu com a $a^n$, on $a$ és la base i $n$ és l’exponent.

1.1. Potència amb bases enteres

La base d’una potència pot ser qualsevol nombre enter, és a dir, positiu, negatiu o zero. El signe de la base és molt important, ja que afecta el signe del resultat final.

Regla dels signes:

1. Base positiva: Si la base és positiva, el resultat sempre serà positiu, independentment de l’exponent.
2. Base negativa: Si la base és negativa, el signe del resultat depèn de si l’exponent és parell o senar.
   • Si l’exponent és parell, el resultat serà positiu.
   • Si l’exponent és senar, el resultat serà negatiu.

Exemples resolts

• $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ (Base positiva, resultat positiu)
• $(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16$ (Base negativa, exponent parell, resultat positiu)
• $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$ (Base negativa, exponent senar, resultat negatiu)

1.2. Potència amb exponents naturals

Un exponent natural ($1, 2, 3, \ldots$) simplement indica quantes vegades s’ha de multiplicar la base per si mateixa.

La fórmula general és: $a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ vegades}}$

Casos especials:

• Exponent 1: Qualsevol nombre elevat a 1 és ell mateix. $a^1 = a$.
• Exponent 0: Qualsevol nombre (excepte 0) elevat a 0 és 1. $a^0 = 1$.

Exemples resolts

• $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$
• $10^6 = 1.000.000$ (Un 1 seguit de 6 zeros)
• $(-4)^1 = -4$
• $99^0 = 1$

1.3. Operacions amb potència: suma i resta

Només es poden sumar o restar potències que tinguin la mateixa base i el mateix exponent. Si les bases o els exponents són diferents, les potències s’han de calcular primer i després sumar o restar els resultats.

Pensa en les potències com si fossin “objectes”. Només pots agrupar objectes idèntics.

Exemples resolts

• Mateixa base i exponent: $2 \cdot 3^4 + 5 \cdot 3^4 = (2+5) \cdot 3^4 = 7 \cdot 3^4$ (És com dir “2 pomes + 5 pomes = 7 pomes”, on “pomes” és $3^4$)

• Diferent base o exponent (s’ha de calcular): $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$ (No es poden agrupar directament) $5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$ (No es poden agrupar directament)

1.4. Operacions amb potència: multiplicació i divisió

Aquí és on les propietats de les potències són més útils.

Multiplicació

• Mateixa base: Es manté la base i se sumen els exponents. $a^m \times a^n = a^{m+n}$
• Mateix exponent: Es multipliquen les bases i es manté l’exponent. $a^n \times b^n = (a \times b)^n$

Divisió

• Mateixa base: Es manté la base i es resten els exponents. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• Mateix exponent: Es divideixen les bases i es manté l’exponent. $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$

Exemples resolts

• $3^4 \times 3^2 = 3^{4+2} = 3^6$
• $5^3 \times 2^3 = (5 \times 2)^3 = 10^3 = 1000$
• $\frac{7^5}{7^3} = 7^{5-3} = 7^2 = 49$
• $\frac{10^4}{5^4} = \left(\frac{10}{5}\right)^4 = 2^4 = 16$

Exercicis interactius

Exercicis per entregar

Resol les següents operacions al teu quadern.