Teoria

La potenciació és una operació matemàtica que representa una multiplicació repetida. És una manera abreujada d’escriure un nombre multiplicat per si mateix diverses vegades. Entendre-la bé és clau per avançar en àlgebra i altres àrees de les matemàtiques.

Una potència té dues parts principals: la base (el nombre que es multiplica) i l’exponent (el nombre de vegades que es multiplica). S’escriu com a $a^n$, on $a$ és la base i $n$ és l’exponent.

6.1. Potenciació amb bases enteres

La base d’una potència pot ser qualsevol nombre enter, és a dir, positiu, negatiu o zero. El signe de la base és molt important, ja que afecta el signe del resultat final.

Regla dels signes:

1. Base positiva: Si la base és positiva, el resultat sempre serà positiu, independentment de l’exponent.
2. Base negativa: Si la base és negativa, el signe del resultat depèn de si l’exponent és parell o senar.
   • Si l’exponent és parell, el resultat serà positiu.
   • Si l’exponent és senar, el resultat serà negatiu.

Exemples resolts

• $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ (Base positiva, resultat positiu)
• $(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16$ (Base negativa, exponent parell, resultat positiu)
• $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$ (Base negativa, exponent senar, resultat negatiu)

6.2. Potenciació amb exponents naturals

Un exponent natural ($1, 2, 3, \ldots$) simplement indica quantes vegades s’ha de multiplicar la base per si mateixa.

La fórmula general és: $a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ vegades}}$

Casos especials:

• Exponent 1: Qualsevol nombre elevat a 1 és ell mateix. $a^1 = a$.
• Exponent 0: Qualsevol nombre (excepte 0) elevat a 0 és 1. $a^0 = 1$.

Exemples resolts

• $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$
• $10^6 = 1.000.000$ (Un 1 seguit de 6 zeros)
• $(-4)^1 = -4$
• $99^0 = 1$

6.3. Operacions amb potenciació: suma i resta

Només es poden sumar o restar potències que tinguin la mateixa base i el mateix exponent. Si les bases o els exponents són diferents, les potències s’han de calcular primer i després sumar o restar els resultats.

Pensa en les potències com si fossin “objectes”. Només pots agrupar objectes idèntics.

Exemples resolts

• Mateixa base i exponent: $2 \cdot 3^4 + 5 \cdot 3^4 = (2+5) \cdot 3^4 = 7 \cdot 3^4$ (És com dir “2 pomes + 5 pomes = 7 pomes”, on “pomes” és $3^4$)

• Diferent base o exponent (s’ha de calcular): $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$ (No es poden agrupar directament) $5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$ (No es poden agrupar directament)

6.4. Operacions amb potenciació: multiplicació i divisió

Aquí és on les propietats de les potències són més útils.

Multiplicació

• Mateixa base: Es manté la base i se sumen els exponents. $a^m \times a^n = a^{m+n}$
• Mateix exponent: Es multipliquen les bases i es manté l’exponent. $a^n \times b^n = (a \times b)^n$

Divisió

• Mateixa base: Es manté la base i es resten els exponents. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• Mateix exponent: Es divideixen les bases i es manté l’exponent. $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$

Exemples resolts

• $3^4 \times 3^2 = 3^{4+2} = 3^6$
• $5^3 \times 2^3 = (5 \times 2)^3 = 10^3 = 1000$
• $\frac{7^5}{7^3} = 7^{5-3} = 7^2 = 49$
• $\frac{10^4}{5^4} = \left(\frac{10}{5}\right)^4 = 2^4 = 16$

Exercicis Interactius

Ara és el teu torn de practicar! Resol els següents exercicis per comprovar el que has après.

Quiz de conceptes

Relaciona cada operació amb la seva regla

Arrossega les paraules per completar la regla

Resol problemes pas a pas

Càlcul ràpid de potències

Exercicis per practicar

Resol les següents operacions al teu quadern.