Tema 7: Operacions combinades

Activitat 1: La Piràmide de Poder 🏆

📚 Teoria a connectar:

• Jerarquia d’operacions: L’ordre estricte per resoldre expressions matemàtiques.
• L’ordre és: 1. Parèntesis $\rightarrow$ 2. Potències/Arrels $\rightarrow$ 3. Multiplicació/Divisió $\rightarrow$ 4. Suma/Resta.

❓ Preguntes:

• Et posaries les sabates abans que els mitjons? En matemàtiques passa el mateix: l’ordre altera el resultat.
• Per què creus que els matemàtics van haver de posar-se d’acord en unes regles universals? (Si no, cadascú obtindria un número diferent per al mateix problema!).

💡 Exemple concret:

• Operació: $3 + 4 \times 2$.
  • Si sumes primer ($3+4=7$ i després $\times 2$), dóna $14$. Incorrecte.
  • Si multipliques primer ($4 \times 2 = 8$ i després $+3$), dóna $11$. Correcte. La multiplicació guanya a la suma.

✍️ Exercici:

• Resol mentalment: $10 - 2 \times 3$. Dóna $24$ o dóna $4$? Aplica la piràmide!

Activitat 2: L’Empat (Esquerra a Dreta) ➡️

📚 Teoria a connectar:

• Regla de l’empat: Si en un mateix nivell hi ha dues operacions (ex: multiplicació i divisió), es resolen d’esquerra a dreta, tal com llegim.

❓ Preguntes:

• Molta gent pensa que la multiplicació és “més important” que la divisió. És cert? (No, són al mateix nivell 3 de la piràmide).
• Què passa si alterem l’ordre esquerra-dreta?

💡 Exemple concret:

• Operació: $20 \div 4 \times 5$.
  • Incorrecte (fer la multi primer): $4 \times 5 = 20 \rightarrow 20 \div 20 = 1$.
  • Correcte (esquerra a dreta): Primer $20 \div 4 = 5$. Després $5 \times 5 = 25$.

✍️ Exercici:

• Calcula el valor correcte de: $12 \div 2 \times 3$.

Activitat 3: Desmuntant els Enters (Parèntesis) 📦

📚 Teoria a connectar:

• Operacions combinades amb Enters: Ús de parèntesis i claudàtors $[ \dots ]$.
• Resolució de dins cap a fora.

❓ Preguntes:

• Quan veus una expressió com $10 + (-2) \cdot [5 - (3-1)^2]$, per on comences? Pels extrems o pel cor de l’operació?
• Per què fem servir claudàtors $[ ]$ a més de parèntesis $( )$? (Per no embolicar-nos visualment quan hi ha parèntesis dins de parèntesis).

💡 Exemple concret:

• Del problema: $5 - (3-1)^2$.
  • Primer el parèntesi interior: $(3-1) = 2$.
  • Ens queda: $5 - 2^2$.

✍️ Exercici:

• Resol només el parèntesi i el claudàtor d’aquesta expressió: $3 \cdot [ 10 - (2+3) ]$. Quin número et queda dins del claudàtor final?

Activitat 4: Potències i Signes (Enters Part 2) ⚡

📚 Teoria a connectar:

• Potències dins de la jerarquia.
• Regla dels signes en multiplicacions finals.

❓ Preguntes:

• Seguint l’exemple anterior: $10 + (-2) \cdot [5 - 2^2]$. Què fas primer, la resta $5-2$ o la potència $2^2$? (La potència guanya!).
• I al final: $10 + (-2)$. És una suma o una resta?

💡 Exemple concret:

• Teníem $10 + (-2) \cdot [5 - 4]$.
  1. Dins del claudàtor: $5-4=1$.
  2. Ara tenim: $10 + (-2) \cdot 1$.
  3. Multipliquem: $(-2) \cdot 1 = -2$.
  4. Finalment sumem/restem: $10 - 2 = 8$.

✍️ Exercici:

• Acaba de resoldre: $4 + (-3) \cdot 2^2$.
  • Pas 1: Potència ($2^2$).
  • Pas 2: Multiplicació ($-3 \times$ resultat).
  • Pas 3: Suma final.

Activitat 5: Fraccions al Parèntesi 🍰

📚 Teoria a connectar:

• Fraccions combinades: Primer cal resoldre els parèntesis.
• Necessitat de denominador comú per sumar/restar dins del parèntesi.

❓ Preguntes:

• En l’expressió $(\frac{5}{2} - \frac{1}{4}) \div \frac{3}{2}$, pots fer la divisió abans de fer la resta del parèntesi? (No, el parèntesi protegeix la resta i li dóna prioritat absoluta).

💡 Exemple concret:

• $(\frac{5}{2} - \frac{1}{4})$.
  • Denominador comú és 4.
  • $\frac{5}{2} \rightarrow \frac{10}{4}$.
  • Restem: $\frac{10}{4} - \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.

✍️ Exercici:

• Prepara el parèntesi d’aquesta operació: $(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) \times \frac{5}{6}$. Troba el denominador comú i suma les fraccions de dins.

Activitat 6: El Salt Final (Fraccions Part 2) ➗➕

📚 Teoria a connectar:

• Jerarquia: Divisió/Multiplicació abans que Suma/Resta (també amb fraccions).
• Simplificació de resultats.

❓ Preguntes:

• Ara tenim $\frac{9}{4} \div \frac{3}{2} + \frac{1}{3}$. Què va primer, la divisió o la suma de l’última fracció?
• Recordes com es dividien fraccions? (En creu).

💡 Exemple concret:

• $\frac{9}{4} \div \frac{3}{2}$.
  • Multipliquem en creu: $\frac{9 \times 2}{4 \times 3} = \frac{18}{12}$.
  • Simplifiquem (dividim per 6): $\frac{3}{2}$.
• Ara sumem la part final: $\frac{3}{2} + \frac{1}{3}$.
  • Denominador comú (6): $\frac{9}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6}$.

✍️ Exercici:

• Tens $\frac{2}{5} \times \frac{1}{2} - \frac{1}{10}$.
  • Primer multiplica.
  • Després resta el $\frac{1}{10}$. Quin resultat et dóna?