🏋️♂️ Entrenament d’Alt Rendiment: Operacions Combinades
Aquest apartat és el camp de proves definitiu. Aquí no només has de saber calcular, sinó que has de saber quan fer cada cosa. L’ordre és la clau entre l’èxit i el desastre matemàtic.
1. Teoria: Preguntes Obertes (Resposta Curta)
Contesta per assegurar-te que la teva brúixola matemàtica apunta en la direcció correcta.
Què passaria si cadascú resolgués les operacions en l’ordre que volgués? Per què és necessària una jerarquia ?
Si en una expressió només hi ha sumes i restes, en quin ordre les has de resoldre?
Dins d’un parèntesi, s’ha de seguir també la jerarquia general o es fa d’esquerra a dreta?
Explica la diferència de resultat entre 2 + 3 × 5 2 + 3 \times 5 2 + 3 × 5 ( 2 + 3 ) × 5 (2 + 3) \times 5 ( 2 + 3 ) × 5
Quan tenim una fracció gran on hi ha operacions al numerador i al denominador (ex: 10 + 2 4 + 2 \frac{10+2}{4+2} 4 + 2 10 + 2
Quin és l’error més comú en resoldre 10 − 2 ( 4 − 1 ) 10 - 2(4-1) 10 − 2 ( 4 − 1 )
Si apareix una potència i una multiplicació juntes (ex: 2 × 3 2 2 \times 3^2 2 × 3 2
Què representen els claudàtors [ ] i quan s’utilitzen normalment?
En l’operació 12 ÷ 2 × 3 12 \div 2 \times 3 12 ÷ 2 × 3
Com afecta un signe negatiu davant d’un parèntesi, com a − ( 4 − 9 + 2 ) -(4 - 9 + 2) − ( 4 − 9 + 2 )
2. El “Gimnàs” d’Ordre i Precisió 🔢
Resoldre operacions combinades requereix paciència. No vulguis fer-ho tot mentalment; escriu els passos intermedis.
2.1. Prioritat Bàsica (Enters)
1. 7 + 3 × 4 = 7 + 3 \times 4 = 7 + 3 × 4 = ( 7 + 3 ) × 4 = (7 + 3) \times 4 = ( 7 + 3 ) × 4 = 20 − 10 ÷ 2 = 20 - 10 \div 2 = 20 − 10 ÷ 2 = 15 ÷ 3 + 2 × 6 = 15 \div 3 + 2 \times 6 = 15 ÷ 3 + 2 × 6 = 10 − ( 2 + 5 ) = 10 - (2 + 5) = 10 − ( 2 + 5 ) = 8 + 12 ÷ 4 − 1 = 8 + 12 \div 4 - 1 = 8 + 12 ÷ 4 − 1 = 5 × 4 − 3 × 2 = 5 \times 4 - 3 \times 2 = 5 × 4 − 3 × 2 = 100 ÷ ( 10 × 2 ) = 100 \div (10 \times 2) = 100 ÷ ( 10 × 2 ) = 25 − 5 × 4 + 1 = 25 - 5 \times 4 + 1 = 25 − 5 × 4 + 1 = ( 18 − 6 ) ÷ ( 2 + 2 ) = (18 - 6) \div (2 + 2) = ( 18 − 6 ) ÷ ( 2 + 2 ) =
2.2. Amb Potències i Arrels
1. 2 3 + 5 × 2 = 2^3 + 5 \times 2 = 2 3 + 5 × 2 = ( 3 + 1 ) 2 − 10 = (3 + 1)^2 - 10 = ( 3 + 1 ) 2 − 10 = 3 × 2 2 + 4 = 3 \times 2^2 + 4 = 3 × 2 2 + 4 = 25 + 3 2 = \sqrt{25} + 3^2 = 25 + 3 2 = 2 × ( 5 2 − 20 ) = 2 \times (5^2 - 20) = 2 × ( 5 2 − 20 ) = 10 2 ÷ 5 2 = 10^2 \div 5^2 = 1 0 2 ÷ 5 2 = 2 4 − 2 3 + 2 2 = 2^4 - 2^3 + 2^2 = 2 4 − 2 3 + 2 2 = ( 10 − 8 ) 3 × 3 = (10 - 8)^3 \times 3 = ( 10 − 8 ) 3 × 3 = 16 × 2 − 3 = \sqrt{16} \times 2 - 3 = 16 × 2 − 3 = 5 2 − ( 4 + 1 ) 2 = 5^2 - (4 + 1)^2 = 5 2 − ( 4 + 1 ) 2 =
2.3. Amb Nombres Negatius
1. − 5 + 2 × ( − 3 ) = -5 + 2 \times (-3) = − 5 + 2 × ( − 3 ) = ( − 2 ) 2 − 10 = (-2)^2 - 10 = ( − 2 ) 2 − 10 = 8 ÷ ( − 2 ) + 5 = 8 \div (-2) + 5 = 8 ÷ ( − 2 ) + 5 = ( − 3 ) × ( 4 − 7 ) = (-3) \times (4 - 7) = ( − 3 ) × ( 4 − 7 ) = 10 − ( − 2 ) × 3 = 10 - (-2) \times 3 = 10 − ( − 2 ) × 3 = ( − 1 ) 3 + ( − 1 ) 2 = (-1)^3 + (-1)^2 = ( − 1 ) 3 + ( − 1 ) 2 = 5 − [ 2 − ( 3 − 5 ) ] = 5 - [2 - (3 - 5)] = 5 − [ 2 − ( 3 − 5 )] = ( − 10 ) ÷ 2 − ( − 3 ) = (-10) \div 2 - (-3) = ( − 10 ) ÷ 2 − ( − 3 ) = 2 × ( − 4 ) + ( − 2 ) 3 = 2 \times (-4) + (-2)^3 = 2 × ( − 4 ) + ( − 2 ) 3 = − ( − 5 + 3 ) × ( − 2 ) = -(-5 + 3) \times (-2) = − ( − 5 + 3 ) × ( − 2 ) =
2.4. Amb Fraccions
1. 1 2 + 1 4 × 2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \times 2 = 2 1 + 4 1 × 2 = ( 1 2 + 1 4 ) × 2 = (\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) \times 2 = ( 2 1 + 4 1 ) × 2 = 1 − 2 3 ÷ 4 3 = 1 - \frac{2}{3} \div \frac{4}{3} = 1 − 3 2 ÷ 3 4 = 3 5 × ( 1 2 + 1 2 ) = \frac{3}{5} \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 5 3 × ( 2 1 + 2 1 ) = ( 2 3 ) 2 + 1 9 = (\frac{2}{3})^2 + \frac{1}{9} = ( 3 2 ) 2 + 9 1 = 5 2 − 1 ÷ 1 2 = \frac{5}{2} - 1 \div \frac{1}{2} = 2 5 − 1 ÷ 2 1 = 3 4 × 4 3 − 1 2 = \frac{3}{4} \times \frac{4}{3} - \frac{1}{2} = 4 3 × 3 4 − 2 1 = ( 1 3 + 1 6 ) × 6 = (\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) \times 6 = ( 3 1 + 6 1 ) × 6 = 7 10 − 1 5 × 1 2 = \frac{7}{10} - \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} = 10 7 − 5 1 × 2 1 = 2 × ( 3 4 − 1 2 ) + 1 = 2 \times (\frac{3}{4} - \frac{1}{2}) + 1 = 2 × ( 4 3 − 2 1 ) + 1 =
2.5. El Gran Repte Final (Mix total)
Simplifica al màxim abans de donar el resultat final.
1. 2 × [ 5 + ( 3 2 − 4 ) ÷ 5 ] = 2 \times [5 + (3^2 - 4) \div 5] = 2 × [ 5 + ( 3 2 − 4 ) ÷ 5 ] = 10 − 2 × 3 2 2 = \frac{10 - 2 \times 3}{2^2} = 2 2 10 − 2 × 3 = ( − 2 ) 3 + 81 ÷ ( 5 − 2 ) = (-2)^3 + \sqrt{81} \div (5 - 2) = ( − 2 ) 3 + 81 ÷ ( 5 − 2 ) = ( 1 2 + 1 3 ) ÷ 5 6 − 1 = (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \div \frac{5}{6} - 1 = ( 2 1 + 3 1 ) ÷ 6 5 − 1 = 3 ⋅ ( − 2 ) 2 − [ 5 − ( − 2 ) ⋅ 3 ] = 3 \cdot (-2)^2 - [5 - (-2) \cdot 3] = 3 ⋅ ( − 2 ) 2 − [ 5 − ( − 2 ) ⋅ 3 ] = 2 3 × 1 4 + 5 6 ÷ 1 2 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} + \frac{5}{6} \div \frac{1}{2} = 3 2 × 4 1 + 6 5 ÷ 2 1 = ( 1 − 1 4 ) 2 ÷ 3 8 = (1 - \frac{1}{4})^2 \div \frac{3}{8} = ( 1 − 4 1 ) 2 ÷ 8 3 = 5 × { 2 + [ 3 × ( 5 − 2 ) − 4 ] } = 5 \times \{ 2 + [3 \times (5 - 2) - 4] \} = 5 × { 2 + [ 3 × ( 5 − 2 ) − 4 ]} = 25 − 16 + 2 3 − 10 = \sqrt{25 - 16} + 2^3 - 10 = 25 − 16 + 2 3 − 10 = 3 4 − 1 2 ⋅ ( 2 3 − 1 6 ) 2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3} - \frac{1}{6})^2 = 4 3 − 2 1 ⋅ ( 3 2 − 6 1 ) 2 =
3. Problemes de Lògica i Estratègia 🧠
Aplica les operacions combinades per resoldre situacions de la vida real.
La Compra: En Marc compra 3 quilos de pomes a 2€/kg, 2 caixes de llet a 1,50€/caixa i 5 iogurts a 0,40€/iogurt. Si paga amb un bitllet de 20€, escriu una sola expressió matemàtica que calculi el canvi que li han de tornar i resol-la.
L’estalviador: La Mireia té 50€. Cada setmana estalvia 15€ durant un mes (4 setmanes). Després, es gasta la meitat del que té en un videojoc. Escriu l’operació combinada que indica quants diners li queden.
Geometria Combinada: Tenim un quadrat de costat 5 cm que té un cercle buit a dins de radi 2 cm.
π ≈ 3 \pi \approx 3 π ≈ 3
Ascensor de Negatius: Un ascensor està a la planta 0. Puja 5 pisos, baixa 8, puja 2 i finalment triplica la seva posició negativa (baixa 3 vegades més on estava). A quina planta es troba?
El Repartiment: Tres amics volen repartir-se un premi de 300€. Primer, paguen un impost del 20 % 20\% 20%
Puntuació d’Examen: En un examen de 20 preguntes, cada resposta correcta val 2 punts, cada error resta 1 punt i les preguntes en blanc valen 0. Si un alumne té 15 encerts i 3 errors:
La Piscina: Una piscina té 1000 litres. Una aixeta aboca 50 l/min durant 10 minuts. Alhora, hi ha un forat per on surten 10 l/min. Quants litres hi haurà al final? Escriu l’operació: 1000 + ( 50 − 10 ) × 10 1000 + (50 - 10) \times 10 1000 + ( 50 − 10 ) × 10
