Tema 7: Operacions combinades

Teoria

1. Operacions combinades

Quan ens trobem amb expressions matemàtiques que contenen diverses operacions (sumes, restes, potències, etc.), no les podem resoldre en qualsevol ordre. Cal seguir unes regles de prioritat per assegurar-nos que tothom arribi al mateix resultat. Aquesta unitat t’ensenyarà l’ordre correcte per convertir-te en un expert/a resolent operacions combinades.

1.1. Regles de prioritat en les operacions

La jerarquia d’operacions és un conjunt de regles que estableix l’ordre en què hem de resoldre una expressió matemàtica. Imagina que és com una piràmide: hem de començar per dalt de tot i anar baixant.

1Parèntesis

2Potències i Arrels

3Multiplicacions i Divisions

4Sumes i Restes

1.2. Combinació amb nombres enters

Aplicarem aquestes regles per resoldre operacions amb nombres enters (positius i negatius). Recorda prestar molta atenció a la regla dels signes!

Exemple resolt: $10 + (-2) \cdot [ 5 - (3-1)^2 ]$

Parèntesis interiors: Comencem pel parèntesi més intern: $(3-1)$ . $10 + (-2) \cdot [ 5 - (2)^2 ]$
Potències: Ara resolem la potència que hi ha dins del claudàtor. $10 + (-2) \cdot [ 5 - 4 ]$
Claudàtors: Resolem l’operació que queda dins del claudàtor. $10 + (-2) \cdot [ 1 ]$
Multiplicació: Abans de la suma, fem la multiplicació. Recorda la regla dels signes (negatiu per positiu dóna negatiu). $10 + (-2)$
Suma: Finalment, fem la suma. $10 - 2 = 8$

El resultat final és 8.

1.3. Combinació amb fraccions

Les regles de prioritat són exactament les mateixes quan treballem amb fraccions. L’única diferència és que les operacions (suma, resta, multiplicació, divisió) es fan seguint els procediments de les fraccions.

Exemple resolt: $\left( \frac{5}{2} - \frac{1}{4} \right) \div \frac{3}{2} + \frac{1}{3}$

Parèntesis: Primer, resolem la resta dins del parèntesi. Per fer-ho, necessitem un denominador comú, que en aquest cas és 4. $\left( \frac{10}{4} - \frac{1}{4} \right) \div \frac{3}{2} + \frac{1}{3}$ $\frac{9}{4} \div \frac{3}{2} + \frac{1}{3}$
Divisió: Segons la jerarquia, la divisió va abans que la suma. Per dividir fraccions, multipliquem en creu. $\frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 3} + \frac{1}{3}$ $\frac{18}{12} + \frac{1}{3}$ Podem simplificar la fracció $\frac{18}{12}$ dividint numerador i denominador entre 6, la qual cosa ens dóna $\frac{3}{2}$ . $\frac{3}{2} + \frac{1}{3}$
Suma: Finalment, fem la suma. El denominador comú entre 2 i 3 és 6. $\frac{9}{6} + \frac{2}{6}$ $\frac{11}{6}$

El resultat final és $\frac{11}{6}$ .

Exercicis interactius

1. En l'operació $5 + 8 \times 2$ , quina operació s'ha de fer primer?

2. Quin és el primer pas per resoldre $12 \div (6 - 2)$ ?

3. Si hi ha una suma i una resta al mateix nivell, com es resolen?

1. Quin és el resultat de $20 - 10 \div 2$ ?

2. En l'expressió $[(3+2) \times 4]^2$ , què es resol en segon lloc?

3. El resultat de $(-2)^2$ és...

1. Quina és la funció dels parèntesis en una operació combinada?

2. Quin és el resultat de $3 \times (5-5)$ ?

3. La fracció $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ dóna com a resultat:

2 + 3 \times 4

(2 + 3) \times 4

10 - 8 \div 2

4^2 - (5 - 2)

Per resoldre operacions combinades, primer fem els

, després les potències i arrels, a continuació les

i divisions, i finalment, les sumes i

Calcula l’operació $3 \times (9-4)^2 - 10$ pas a pas.

Pas 1: Resol el parèntesi

(9-4)

Pas 2: Resol la potència

5^2

Pas 3: Fes la multiplicació

3 \times 25

Pas 4: Fes la resta

75 - 10

Calcula l’operació $8 - (-3) \times (20 \div 5) + 2$ pas a pas.

Pas 1: Resol la divisió

20 \div 5

Pas 2: Resol la multiplicació

(-3) \times 4

Pas 3: Fes la resta

8 - (-12)

Pas 4: Suma el resultat anterior amb 2

Calcula l’operació $\frac{5}{2} - 2 \times \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right)$ pas a pas.

Pas 1: Resol la suma dins del parèntesi

\frac{1}{2} + \frac{1}{4}

Pas 2: Multiplica el resultat per 2

Pas 3: Resta

\frac{5}{2}

menys el resultat anterior

Pas 4: Simplifica si es pot. El resultat final és:

Operacions amb Enters

5 + 2 \times 10 = ?

(5 + 2) \times 10 = ?

30 - 10 \div 2 = ?

(30 - 10) \div 2 = ?

4^2 + 1 = ?

3 + (-2) \times 5 = ?

10 / (2+3) = ?

8 \times 2 - 4 \times 3 = ?

(-1)^3 + 5 = ?

20 - (5-8) = ?

Operacions amb Fraccions (resultat simplificat)

\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \times 2 = ?

(\frac{1}{2} + \frac{3}{2}) \times 2 = ?

1 - \frac{1}{2} \div \frac{1}{2} = ?

\frac{3}{4} \times \frac{4}{3} + 1 = ?

(\frac{2}{3})^2 = ?

2 \div (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) = ?

\frac{5}{3} - \frac{1}{3} \times 2 = ?

(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}) \div \frac{3}{5} = ?

3 \times \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = ?

\frac{10}{3} - \frac{1}{3} = ?

Exercicis per entregar

✏️

Exercici

Operacions amb nombres enters:

$12 + 5 \times 3 - 2$
$(15 - 4) + 3 - (12 - 5 \times 2)$
$25 \div 5 \times 4 - (6 + 2)$
$4 \times (7-2) + 3^2$
$18 - [10 - (5 \times 2 - 4)]$
$(-3) \times (5 - (-2)) + 10$
$40 \div (-8) - (-1) \times 5$
$(5-3)^3 + 2 \times [4 - (-1)]$
$60 - 2 \times (15 + 20 \div 5)$
$[-5 + (-3)] \div 2 - (-4)$
$2^4 \div 4 + (3-1)^3$
$100 - 5 \times [20 \div (4-2)]$
$(-2)^2 + (-2)^3$
$7 - (8 \times 2 - 20)$
$3 \times (4 \times 2 - 3) - (4 + 6 \div 3)$

Operacions amb fraccions:

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}$
$\left(\frac{3}{4} + \frac{1}{2}\right) \times \frac{2}{3}$
$\frac{5}{2} - \frac{1}{2} \div \frac{1}{4}$
$2 \times \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{6}\right) + \frac{5}{6}$
$\frac{7}{3} - \left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \div 2\right)$
$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \times \frac{1}{3}$
$\frac{4}{5} \div \frac{2}{5} - \frac{1}{2}$
$3 - \left(\frac{5}{4} - \frac{1}{2}\right)$
$\frac{1}{3} + \frac{5}{3} \times (2 - \frac{4}{5})$
$\left(4 - \frac{7}{2}\right) \div \left(\frac{3}{2} - 1\right)$
$\frac{10}{3} \times \frac{3}{5} - \frac{1}{4} \times 2$
$5 \div \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4}\right)$
$(\frac{2}{5} - \frac{1}{10})^2 + \frac{3}{100}$
$\frac{1}{2} \times [\frac{3}{4} - (\frac{1}{2})^2]$
$1 - \frac{1}{2} \times (\frac{1}{3} + \frac{1}{6})$