Teoria

Benvingut/da a la unitat sobre percentatges! Aquesta eina matemàtica és essencial i la trobaràs a tot arreu: a les botigues, a les notícies, a les finances… Entendre bé com funcionen t’ajudarà a prendre millors decisions cada dia. Comencem!

8.1. Concepte i càlcul de percentatge

Un percentatge és una manera de representar una part d’un total, expressant-la com una quantitat d’un total de 100 parts. La paraula “per cent” significa literalment “per cada cent”. El símbol que fem servir és el %.

Per exemple, si diem que el 25% d’una classe són nois, vol dir que de cada 100 estudiants, 25 serien nois.

Com es calcula un percentatge?

La fórmula principal per calcular quin percentatge representa una part respecte a un total és:

Per calcular el valor d’un percentatge d’una quantitat total (per exemple, el 20% de 150), fem servir aquesta fórmula:

Exemple resolt: Calcula el 30% de 200€.

1. Identifiquem les dades:

   • Percentatge = 30%
   • Total = 200€

2. Apliquem la fórmula: Convertim el percentatge en un decimal (dividint per 100) i multipliquem pel total.

   $$\text{Valor} = \left( \frac{30}{100} \right) \times 200 = 0.30 \times 200$$

3. Calculem el resultat:

   $$0.30 \times 200 = 60$$

El 30% de 200€ és 60€.

8.2. Relació conceptual entre percentatge i fracció

Els percentatges, les fraccions i els nombres decimals estan estretament relacionats. Són tres maneres diferents d’expressar el mateix valor.

• Un percentatge és una fracció amb denominador 100. Per exemple, $40\% = \frac{40}{100}$.
• Una fracció representa una part d’un tot. Per exemple, $\frac{2}{5}$.
• Un decimal és el resultat de dividir el numerador entre el denominador d’una fracció. Per exemple, $\frac{2}{5} = 0.4$.

Com convertir entre formats?

• De percentatge a fracció: Posa el nombre del percentatge sobre 100 i simplifica la fracció si és possible.

  • Exemple: $50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$

• De fracció a percentatge: Divideix el numerador entre el denominador i multiplica el resultat per 100.

  • Exemple: $\frac{1}{4} = 0.25 \rightarrow 0.25 \times 100 = 25\%$

8.3. Percentatges en l’economia i la vida diària

Els percentatges són a tot arreu, especialment en el món dels diners. Aquí tens alguns exemples comuns:

Exemple resolt: Calcular un descompte

Volem comprar unes vambes que costen 80€. Tenen un 25% de descompte. Quant pagarem?

1. Calcular l’import del descompte:

   $$\text{Descompte} = \left( \frac{25}{100} \right) \times 80€ = 0.25 \times 80€ = 20€$$

2. Restar el descompte del preu original:

   $$\text{Preu final} = \text{Preu original} - \text{Descompte} = 80€ - 20€ = 60€$$

Pagarem 60€ per les vambes.

8.4. Càlcul d’interès simple i aplicacions pràctiques

L’interès és la quantitat de diners que es genera a partir d’una quantitat inicial de diners (anomenada capital) durant un període de temps.

L’interès simple es calcula sempre sobre el capital inicial. No té en compte els interessos generats en períodes anteriors.

La fórmula per calcular l’interès simple és:

On:

• $I$ = Interès total generat.
• $C$ = Capital inicial (els diners que poses al principi).
• $r$ = Taxa d’interès anual (expressada en decimal).
• $t$ = Temps (en anys).

Exemple resolt: Calcular l’interès simple

Diposites 500€ en un compte d’estalvi que ofereix un 3% d’interès simple anual. Quants diners tindràs en total després de 4 anys?

1. Identifiquem les dades:

   • $C = 500€$
   • $r = 3\% = 0.03$
   • $t = 4$ anys

2. Calculem l’interès generat ($I$):

   $$I = C \cdot r \cdot t = 500 \times 0.03 \times 4 = 60€$$

3. Calculem el capital final: Sumem l’interès generat al capital inicial.

   $$\text{Capital Final} = C + I = 500€ + 60€ = 560€$$

Després de 4 anys, tindràs 560€.

Exercicis Interactius

És hora de posar a prova el que has après!

Exercicis per practicar

Resol els següents problemes al teu quadern.