Tema 9: Proporcionalitat

Activitat 1: Van de la mà (Proporcionalitat Directa) 🤝

📚 Teoria a connectar:

• Proporcionalitat Directa: Dues coses que pugen o baixen alhora.
• Si una es duplica ($\times 2$), l’altra també ($\times 2$).

❓ Preguntes:

• Quan descarregues un joc, si esperes el doble de temps, es descarreguen el doble de dades? (Sí, normalment la velocitat és constant).
• Si compres 1 kg de pomes i et costa 2€, quant et costaran 2 kg? I 3 kg? Veus com el preu puja al mateix ritme que el pes?

💡 Exemple concret:

• Temps vs. Descàrrega:
  • 2 minuts $\rightarrow$ 100 MB.
  • 6 minuts (el triple de temps) $\rightarrow$ 300 MB (el triple de dades).

✍️ Exercici:

• Un cotxe gasta 5 litres de gasolina per fer 100 km. Si fa un viatge de 200 km (el doble de distància), quanta gasolina gastarà? I si només fa 50 km (la meitat)?

Activitat 2: La Constant Oculta ($k$) 💎

📚 Teoria a connectar:

• Constant de proporcionalitat ($k$): El resultat de dividir les dues magnituds. Sempre dóna el mateix número.
• Ens diu quant val “una unitat” (ex: grams per persona).

❓ Preguntes:

• En una recepta per a 4 persones necessites 200g de xocolata. Com saps quanta xocolata necessita una sola persona?
• Si descobreixes aquest valor unitari ($k$), pots calcular la recepta per a 10, 20 o 1000 persones fàcilment?

💡 Exemple concret:

• Recepta: 4 persones $\rightarrow$ 200g.
• Calculem la $k$: $\frac{200}{4} = 50$. (Significa: 50g per cada persona).
• Per a 10 persones: $10 \times 50 = 500$g.

✍️ Exercici:

• Per 3 entrades de cinema has pagat 27€.
  • Calcula la constant $k$ ($\frac{Preu}{Entrades}$). Quant val una entrada?
  • Quant costaran 5 entrades?

Activitat 3: La Màquina de Tres (Directa) ⚙️

📚 Teoria a connectar:

• Regla de Tres Simple Directa: L’eina per resoldre problemes ràpidament.
• Mecanisme: Multiplicar en Creu i dividir pel que queda.

❓ Preguntes:

• Si 3 hores de feina equivalen a 15 $m^2$ pintats, com connectem això amb 7 hores?
• Per què multipliquem en diagonal? (Perquè busquem mantenir la proporció $a/b = c/x$).

💡 Exemple concret:

• Dades:
  • 3 hores $\longrightarrow$ 15 $m^2$
  • 7 hores $\longrightarrow$ $x$
• Càlcul: Multipliquem la diagonal que té números ($7 \times 15$) i dividim pel que sobra ($3$).
• $x = \frac{7 \cdot 15}{3} = \frac{105}{3} = 35 m^2$.

✍️ Exercici:

• Si 4 iogurts costen 2€, quant costen 10 iogurts?
  • Planteja les columnes.
  • Multiplica en creu ($10 \times 2$) i divideix per $4$.

Activitat 4: El Món al Revés (Proporcionalitat Inversa) 🙃

📚 Teoria a connectar:

• Proporcionalitat Inversa: Quan una cosa puja, l’altra baixa.
• Relació: “Com més… menys…”.

❓ Preguntes:

• Si sou 2 amics per menjar una pizza, toqueu a mitja pizza. Si de sobte venen 2 amics més (sou 4), toqueu a més o a menys pizza? (A menys!).
• Si corres molt ràpid (més velocitat), trigues més o menys temps a arribar a l’escola?

💡 Exemple concret:

• Pizza i Amics:
  • 2 amics $\rightarrow$ Trossos grans.
  • 4 amics $\rightarrow$ Trossos petits.
• Aquí no es divideix, es multiplica: El total de pizza és constant.

✍️ Exercici:

• Un pintor triga 4 dies a pintar una casa. Si ve el seu germà a ajudar-lo (ara són 2 pintors), trigaran més dies o menys dies? (Pensa: doble de mans, meitat de temps).

Activitat 5: Atenció al Parany! ⚠️

📚 Teoria a connectar:

• Diferenciar Directa vs. Inversa.
• L’error més comú és aplicar la regla de tres directa (creu) quan és inversa (línia).

❓ Preguntes:

• Abans de calcular res, què t’has de preguntar SEMPRE? (“Si A puja, B puja o baixa?”).
• Què passaria si apliquéssim la regla directa al problema de la velocitat? Ens sortiria que si correm més, triguem més temps! I això no tindria sentit.

💡 Exemple concret:

• Directa: Compro més llapis $\rightarrow$ Pago més diners. (Multiplico en creu).
• Inversa: Vaig a més velocitat $\rightarrow$ Trigo menys temps. (Multiplico en línia recta).

✍️ Exercici:

• Identifica si són directes o inverses (no cal calcular):
  • a) Kilos de patates i el preu a pagar.
  • b) Velocitat d’un cotxe i temps en arribar.
  • c) Nombre d’aixetes obertes i temps per omplir una piscina.

Activitat 6: Càlcul Invers (En línia) ➖

📚 Teoria a connectar:

• Regla de Tres Inversa: Càlcul específic.
• Fórmula: Multiplicar els de dalt (parella coneguda) i dividir pel de baix.

❓ Preguntes:

• Un ciclista a 20 km/h triga 3 hores. Quina distància ha recorregut? ($20 \times 3 = 60$ km).
• Si ara va a 30 km/h, ha de recórrer els mateixos 60 km. Quant trigarà?

💡 Exemple concret:

• Dades:
  • 20 km/h $\longrightarrow$ 3 hores
  • 30 km/h $\longrightarrow$ $x$
• Càlcul Invers (en línia):
• $x = \frac{20 \cdot 3}{30} = \frac{60}{30} = 2$ hores.

✍️ Exercici:

• 3 obrers triguen 12 hores a aixecar un mur. Quant trigarien 6 obrers?
  • Multiplica els de dalt ($3 \times 12$).
  • Divideix pel de baix ($6$). Té sentit que triguin la meitat?