Teoria

En aquesta unitat explorarem la proporcionalitat, una de les idees més poderoses de les matemàtiques. Entendre com dues quantitats canvien l’una respecte de l’altra ens permet predir resultats, des de calcular els ingredients per a un pastís fins a estimar el temps que trigaràs a descarregar un videojoc. Anem a descobrir-ho!

9.1. Proporcionalitat Directa: Definició i Aplicacions

Diem que dues magnituds tenen una relació de proporcionalitat directa quan van “de la mà”. Si una es duplica, l’altra també es duplica. Si una es redueix a la meitat, l’altra també. En resum: si una puja, l’altra puja; si una baixa, l’altra baixa, i sempre en la mateixa proporció.

Un exemple clar és el temps de descàrrega d’un arxiu: com més temps passa, més megabytes (MB) s’han descarregat.

La clau de la proporcionalitat directa és que la seva constant de proporcionalitat ($k$), que s’obté dividint les dues magnituds, mai no canvia.

Visualització de la Proporcionalitat Directa

Imagina dues barres de progrés. En una relació directa, creixen juntes i de manera sincronitzada.

Exemple resolt:

Una recepta de galetes per a 4 persones requereix 200 grams de xocolata. Quanta xocolata necessitarem si volem fer galetes per a 10 persones?

1. Identifiquem la relació: A més persones, més xocolata necessitarem. És una proporcionalitat directa.
2. Calculem la constant (grams per persona): $k = \frac{200 \text{ grams}}{4 \text{ persones}} = 50$ grams/persona.
3. Utilitzem la constant per trobar la solució: Xocolata necessària = $10 \text{ persones} \times 50 \text{ grams/persona} = 500$ grams.

Solució: Necessitarem 500 grams de xocolata.

9.2. Regla de Tres Simple: Tècnica i Exemples

La regla de tres simple directa és la nostra eina principal per resoldre aquests problemes de manera ràpida i eficient. És com una màquina a la qual li dones tres dades i et retorna la quarta que falta.

Com funciona la “màquina” de la Regla de Tres?

1. Entrada de Dades: Organitza les dades en dues columnes, assegurant-te que cada magnitud estigui a la seva columna. La teva incògnita és $x$.
2. Procés (Multiplicació en Creu): Multiplica els números que estan connectats per la diagonal que no inclou la $x$.
3. Resultat (Divisió): Divideix el producte que has obtingut entre el número que queda.

Visualització del Mecanisme

Exemple resolt:

Si en 3 hores de treball pinto 15 m² de paret, quants metres quadrats pintaré en 7 hores?

1. Plantegem la regla de tres:

   • Hores --- Metres quadrats (m²)
   • $3 \longrightarrow 15$
   • $7 \longrightarrow x$

2. Apliquem la fórmula:

   $$x = \frac{7 \cdot 15}{3} = \frac{105}{3} = 35$$

Solució: En 7 hores pintaré 35 m².

9.3. Proporcionalitat Inversa: Definició i Aplicacions

La proporcionalitat inversa apareix quan les magnituds es comporten de manera oposada. Quan una augmenta, l’altra disminueix en la mateixa proporció. És una relació de “com més… menys…” o “com menys… més…”.

L’exemple perfecte és compartir una pizza: com més amics sou per repartir-la, menys trossos toquen a cadascú.

En aquest cas, el que es manté constant ($k$) és el producte de les dues magnituds.

Visualització de la Proporcionalitat Inversa

Repartim la mateixa pizza entre 2 persones i entre 4. Observa com canvia la mida de la porció.

Regla de Tres Simple Inversa

Per a la proporcionalitat inversa, el mètode canvia:

1. Multiplica en línia: Multiplica els dos valors de la fila superior (els que coneixes).
2. Divideix: Divideix el resultat per l’únic valor que coneixes de la fila inferior.

La fórmula és: $x = \frac{a \cdot b}{c}$

Exemple resolt:

Un ciclista que va a 20 km/h triga 3 hores a completar una ruta. Si fes la mateixa ruta a 30 km/h, quant de temps trigaria?

1. Identifiquem la relació: A més velocitat, menys temps trigarà. És inversa.
2. Plantegem la regla de tres inversa:
   • Velocitat (km/h) --- Temps (hores)
   • $20 \longrightarrow 3$
   • $30 \longrightarrow x$
3. Apliquem la fórmula inversa: $$x = \frac{20 \cdot 3}{30} = \frac{60}{30} = 2$$

Solució: Trigaria 2 hores.

Exercicis Interactius

Demostra que ets un expert en proporcionalitat!

Quiz de Conceptes

Relaciona cada situació

Completa la Frase

Resolució de Problemes Guiada

Càlcul Mental: Proporcionalitat Directa

Càlcul Mental: Proporcionalitat Inversa

Exercicis per practicar

Resol els següents problemes al teu quadern. Raona primer si la relació és directa o inversa.